Bereken gratis en direct een t-toets. Kies tussen een steekproef, twee onafhankelijke groepen of gepaarde metingen en zie meteen de t-waarde, de p-waarde en de conclusie.
Het gemiddelde waarvan de nulhypothese uitgaat, bijvoorbeeld een norm, een streefwaarde of een uitkomst van vorig jaar.
Met een t-toets onderzoek je of een verschil tussen gemiddelden echt bestaat of dat het ook door toeval kan zijn ontstaan. Je meet bijna nooit een hele groep, maar een steekproef, en die valt de ene keer wat hoger uit dan de andere. Vind je in je onderzoek een verschil, dan is de vraag dus altijd: is dit groot genoeg om er iets over te durven zeggen? De t-toets zet dat verschil af tegen de spreiding in je gegevens en tegen de omvang van je steekproef, en geeft je een getal terug: de t-waarde.
Voor het vergelijken van één gemiddelde met een vaste waarde ziet die berekening er zo uit:
In wiskundeboeken staat dat als t = (x − μ0) ÷ (s ÷ √n). Daarin is x (spreek uit: x-streep) het gemiddelde van je steekproef, μ0 (spreek uit: mu-nul) de waarde waarmee je vergelijkt, s de standaarddeviatie en n het aantal metingen. Het onderste deel van de breuk heet de standaardfout: dat is hoeveel je gemiddelde zou schommelen als je de meting opnieuw zou doen.
De t-waarde vertelt dus hoeveel standaardfouten je gemeten verschil groot is. Ligt t dicht bij 0, dan valt je verschil weg in de ruis. Hoe verder t van 0 af ligt, hoe onwaarschijnlijker het is dat toeval alleen dit verschil heeft veroorzaakt.
Welke variant je nodig hebt, hangt af van wat je met wat vergelijkt. Deze tool heeft ze alle drie:
| Soort | Wanneer gebruik je hem | Voorbeeld |
|---|---|---|
| Één steekproef | Je vergelijkt één gemiddelde met een vaste waarde | Wegen zakken chips gemiddeld echt de 175 gram die op de verpakking staat? |
| Twee onafhankelijke groepen | Je vergelijkt twee losse groepen met elkaar | Halen leerlingen van klas A een ander gemiddelde dan die van klas B? |
| Gepaard | Je meet dezelfde personen of dingen twee keer | Rennen dezelfde sporters sneller ná een trainingsprogramma dan ervoor? |
Het verschil tussen de laatste twee is belangrijk. Bij gepaarde metingen hoort elke meting bij precies één andere meting, en dan reken je met de verschillen per paar. Dat is veel gevoeliger: alle vaste verschillen tussen personen vallen namelijk weg. Gebruik je daar per ongeluk de toets voor onafhankelijke groepen, dan vind je een echt effect veel minder snel.
Een fabrikant vult zakken met 175 gram chips. Je weegt er 25 en vindt een gemiddelde van 173,4 gram met een standaarddeviatie van 4 gram. Klopt die 175 gram nog?
Die p-waarde is net iets groter dan 0,05, dus bij een significantieniveau van 5% houd je de nulhypothese aan: het bewijs is nipt te zwak om te zeggen dat de zakken structureel te licht zijn. Nipt is hier het sleutelwoord; bij 30 zakken in plaats van 25 was dezelfde afwijking wél significant geweest. Vul het voorbeeld hierboven in de rekenmachine in, dan zie je precies dat terug.
De p-waarde is de kans om een verschil te vinden dat minstens zo groot is als het jouwe, als de nulhypothese waar zou zijn. In het chipsvoorbeeld: als de zakken gemiddeld echt 175 gram wegen, zou je in ongeveer 5,7% van de metingen een afwijking van 1,6 gram of meer tegenkomen, puur door toeval.
Je vergelijkt die p-waarde met het significantieniveau (α), meestal 5%. Is p kleiner dan α, dan noem je het resultaat significant en verwerp je de nulhypothese. Is p groter, dan houd je de nulhypothese aan. Let op de formulering: je bewijst daarmee niet dat er géén verschil is, je hebt alleen niet genoeg bewijs gevonden dat er wél een is. Afwezigheid van bewijs is geen bewijs van afwezigheid.
Twee andere veelgemaakte fouten zijn de moeite waard om te onthouden. De p-waarde is niet de kans dat de nulhypothese waar is, en een kleine p-waarde betekent niet dat het verschil groot of belangrijk is. Bij een heel grote steekproef wordt zelfs een piepklein verschil significant. Kijk daarom altijd ook naar de effectgrootte en het betrouwbaarheidsinterval, die je allebei in de kaartjes onder de uitkomst vindt.
Naast de p-waarde kun je ook met de kritieke waarde werken; dat is de methode die in de meeste schoolboeken staat. De kritieke waarde is de grens waarboven een t-waarde te extreem is om nog aan toeval toe te schrijven. Ligt jouw t-waarde daarbuiten, dan verwerp je de nulhypothese. Beide methoden geven altijd dezelfde conclusie.
Die grens hangt af van het aantal vrijheidsgraden, meestal afgekort tot df. Bij één steekproef is dat het aantal metingen min 1. Hoe meer metingen, hoe kleiner de grens en hoe eerder een verschil significant is. In deze tabel staan de kritieke waarden die je het vaakst tegenkomt, bij tweezijdig toetsen op 5%:
| Aantal metingen (n) | Vrijheidsgraden (df) | Kritieke waarde bij 5% tweezijdig |
|---|---|---|
| 5 | 4 | 2,776 |
| 10 | 9 | 2,262 |
| 20 | 19 | 2,093 |
| 25 | 24 | 2,064 |
| 30 | 29 | 2,045 |
| 60 | 59 | 2,001 |
| 120 | 119 | 1,980 |
| heel groot | heel groot | 1,960 |
Onderaan die tabel zie je 1,960 staan, precies de waarde die ook bij de z-score hoort. Dat is geen toeval: bij veel metingen lijkt de t-verdeling steeds meer op de normale verdeling. De t-verdeling heeft dikkere staarten, en dat is precies de correctie voor het feit dat je de spreiding uit je eigen steekproef hebt moeten schatten. Bij kleine steekproeven is dat verschil flink; bij grote steekproeven verdwijnt het bijna. Deze tool rekent de kritieke waarde exact voor je uit, dus je hebt geen tabel achter in je boek meer nodig.
Tweezijdig toetsen betekent dat je alleen wilt weten of er een verschil is, in welke richting dan ook. Eenzijdig toetsen betekent dat je vooraf al een richting in gedachten hebt: je wilt aantonen dat iets specifiek hoger of specifiek lager is. Omdat je bij eenzijdig toetsen alle ruimte aan één kant legt, is je toets daar gevoeliger: de kritieke waarde is lager en de p-waarde precies de helft.
Dat klinkt aantrekkelijk, maar er zit een strenge voorwaarde aan: je moet die richting voordat je de gegevens ziet hebben vastgelegd. Achteraf de richting kiezen die het beste uitkomt, is een bekende vorm van zelfbedrog en maakt je p-waarde waardeloos. Twijfel je, kies dan tweezijdig; dat is de voorzichtige keuze en de standaardinstelling van deze tool.
Voor een betrouwbare uitkomst moet je situatie aan een paar voorwaarden voldoen. Loop ze even langs:
Vergelijk je meer dan twee groepen, gebruik dan geen reeks losse t-toetsen. Elke extra toets vergroot namelijk de kans op een toevallig significant resultaat. Daar bestaat een aparte techniek voor: de variantieanalyse (ANOVA).
Bij twee onafhankelijke groepen kun je kiezen. De gewone t-toets van Student gaat ervan uit dat beide groepen even veel spreiding hebben en voegt hun standaarddeviaties samen tot één gezamenlijke schatting. De toets van Welch doet die aanname niet en past in plaats daarvan het aantal vrijheidsgraden aan; daardoor komt daar vaak een getal met decimalen uit, zoals 40,6.
In de praktijk is Welch bijna altijd de betere keuze. Hij is even betrouwbaar als de spreiding toevallig wél gelijk is, en veel betrouwbaarder als dat niet zo is. Vooral bij groepen van ongelijke omvang met ongelijke spreiding kan de gewone t-toets er flink naast zitten. Daarom staat Welch in deze tool standaard aan, en is dat ook de standaardinstelling van programma's als R en SPSS. Kies alleen voor de gewone t-toets als je opgave daar expliciet om vraagt.
Significant betekent alleen "waarschijnlijk niet door toeval". Het zegt niets over hoe groot of hoe belangrijk het verschil is. Daarvoor kijk je naar de effectgrootte, meestal Cohens d. Die deelt het verschil door de standaarddeviatie en drukt het dus uit in spreiding:
Een d van 0,2 heet klein, 0,5 middelmatig en 0,8 groot. Een d van 1 betekent dat de twee gemiddelden een hele standaarddeviatie uit elkaar liggen. Anders dan de p-waarde hangt d niet af van de omvang van je steekproef, en daarom hoort hij standaard in elke rapportage thuis. Deze tool berekent hem automatisch en zet er meteen bij of het effect klein, middelmatig of groot is.
Bij twee losse groepen deel je het verschil tussen de gemiddelden door de standaardfout van dat verschil. Bij de toets van Welch tel je daarvoor de standaardfouten van beide groepen op onder het wortelteken:
Daarin zijn s1 en s2 de standaarddeviaties van de twee groepen en n1 en n2 hun aantallen. Kies je voor de gewone t-toets, dan wordt die noemer vervangen door één gezamenlijke standaarddeviatie maal de wortel uit (1 ÷ n1 + 1 ÷ n2). Bij een gepaarde toets gebruik je gewoon de eerste formule van deze pagina, maar dan toegepast op de verschillen per paar en met 0 als vergelijkingswaarde.
Wil je je uitkomst met een ander hulpmiddel controleren, dan kan dat zo:
Kies bovenaan eerst welke t-toets bij jouw vraag past. Geef daarna aan wat je bij de hand hebt: ken je het gemiddelde, de standaarddeviatie en het aantal al, vul die dan direct in. Heb je alleen je losse metingen, kies dan "De losse metingen" en typ in elk vakje één getal. Met de entertoets open je een volgend vakje, en plak je een hele reeks uit Excel, dan verdeelt de tool die automatisch over losse vakjes. Bij een gepaarde toets vul je twee even lange rijen in, waarbij de eerste meting van rij 1 hoort bij de eerste meting van rij 2. Kies tot slot wat je wilt aantonen en welk significantieniveau je aanhoudt. Decimalen mag je met een komma of een punt schrijven. Je ziet meteen de t-waarde, de p-waarde, de vrijheidsgraden, de kritieke waarde, het betrouwbaarheidsinterval, de effectgrootte, een tekening van de t-verdeling met het verwerpingsgebied en een tabel met de conclusie bij andere significantieniveaus. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.
Deel het gemeten verschil door de standaardfout. Bij één steekproef is dat t = (gemiddelde − vergelijkingswaarde) ÷ (standaarddeviatie ÷ de wortel uit n). Weeg je 25 zakken chips met een gemiddelde van 173,4 gram en een standaarddeviatie van 4 gram, dan is de standaardfout 0,8 en is t = −1,6 ÷ 0,8 = −2. Met 24 vrijheidsgraden hoort daar tweezijdig p ≈ 0,057 bij.
De kans om een verschil te vinden dat minstens zo groot is als het jouwe, als de nulhypothese waar zou zijn. Is p kleiner dan het significantieniveau (meestal 5%), dan noem je het resultaat significant. De p-waarde is niet de kans dat de nulhypothese waar is, en een kleine p-waarde betekent ook niet dat het verschil groot is.
Er is geen vaste grens: het hangt af van het aantal vrijheidsgraden. Bij tweezijdig toetsen op 5% ligt de grens rond 2,26 bij 10 metingen, rond 2,06 bij 25 metingen en rond 1,96 bij heel veel metingen. Ligt je t-waarde daarbuiten, dus verder van 0 af, dan is je resultaat significant. Het teken van t zegt alleen in welke richting het verschil ligt.
Het aantal waarden dat vrij kan variëren bij het schatten van de spreiding. Bij één steekproef en bij een gepaarde toets is dat het aantal metingen min 1, bij twee groepen met gelijke spreiding het totale aantal min 2. Bij de toets van Welch wordt het apart berekend en komt er vaak een getal met decimalen uit. Hoe meer vrijheidsgraden, hoe lager de kritieke waarde.
Bij een gepaarde toets hoort elke meting bij precies één andere meting, bijvoorbeeld dezelfde persoon voor en na een training; je rekent dan met de verschillen per paar. Bij een onafhankelijke toets zijn het twee losse groepen zonder koppeling. De gepaarde toets is gevoeliger, omdat de vaste verschillen tussen personen wegvallen.
Tweezijdig, tenzij je vóór het zien van je gegevens al een duidelijke richting had vastgelegd. Eenzijdig toetsen halveert de p-waarde en verlaagt de kritieke waarde, dus je vindt eerder een significant resultaat. Achteraf de richting kiezen die het beste uitkomt is daarom niet toegestaan. Bij twijfel is tweezijdig de veilige keuze.
Bij twee onafhankelijke groepen waarvan je niet zeker weet of ze even veel spreiding hebben, en dat is bijna altijd. Welch is even betrouwbaar als de spreiding toevallig wél gelijk is en een stuk betrouwbaarder als dat niet zo is. Daarom staat hij in deze tool standaard aan, net als in R en SPSS. Kies alleen de gewone t-toets als je opgave daar expliciet om vraagt.
Een maat voor de effectgrootte: het verschil tussen de gemiddelden gedeeld door de standaarddeviatie. Een d van 0,2 heet klein, 0,5 middelmatig en 0,8 groot. Anders dan de p-waarde hangt d niet af van hoe groot je steekproef is, en daarom hoort hij standaard bij je uitkomst gerapporteerd te worden.
Alleen als je de standaarddeviatie van de hele populatie kent, en dat is zelden zo. Schat je de spreiding uit je eigen steekproef, dan hoort daar de t-toets bij. Bij grote steekproeven maakt het nauwelijks uit: vanaf ongeveer 100 metingen liggen de kritieke waarden nog maar iets uit elkaar (1,984 tegenover 1,960).
Ja. De berekening draait volledig in je eigen browser; de getallen die je invoert verlaten je apparaat niet en worden nergens opgeslagen.
JaHandig