Bereken gratis en direct een betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde of een percentage, met de grenzen, de foutmarge en de kritieke waarde.
Een betrouwbaarheidsinterval is een reeks waarden waarbinnen de werkelijke waarde van een hele groep waarschijnlijk ligt. Je onderzoekt bijna nooit iedereen: je meet een steekproef en gebruikt die om iets te zeggen over de hele populatie. Zo'n schatting is nooit precies goed, en het betrouwbaarheidsinterval laat zien hoe ver ernaast je uitkomst kan zitten. In plaats van "het gemiddelde is 7,2" zeg je dan "het gemiddelde ligt tussen 6,62 en 7,78".
Je bouwt zo'n interval altijd op dezelfde manier: neem je schatting en tel er aan beide kanten een foutmarge bij op. Voor een gemiddelde ziet dat er zo uit:
Daarin is n het aantal waarnemingen. Het stuk achter het maalteken heet de standaardfout: dat is de standaarddeviatie gedeeld door de wortel uit het aantal waarnemingen. De standaardfout zegt hoe nauwkeurig je gemiddelde is. De kritieke waarde bepaalt hoe zeker je wilt zijn: hoe hoger het betrouwbaarheidsniveau, hoe groter dat getal en hoe breder het interval.
Voorbeeld: je meet 25 pakken hagelslag. Het gemiddelde gewicht is 7,2 gram te veel en de standaarddeviatie is 1,4 gram. De standaardfout is dan 1,4 ÷ √25 = 1,4 ÷ 5 = 0,28. Bij 95% betrouwbaarheid en 24 vrijheidsgraden hoort een kritieke waarde van 2,064, dus de foutmarge is 2,064 × 0,28 ≈ 0,578. Het interval loopt van 7,2 − 0,578 = 6,62 tot 7,2 + 0,578 = 7,78.
Werk je met de standaardnormale verdeling, dan liggen de kritieke waarden vast. Deze getallen kom je overal tegen:
| Betrouwbaarheidsniveau | Kritieke z-waarde | Wat je overlaat aan de staarten |
|---|---|---|
| 80% | 1,282 | 10% aan elke kant |
| 90% | 1,645 | 5% aan elke kant |
| 95% | 1,960 | 2,5% aan elke kant |
| 98% | 2,326 | 1% aan elke kant |
| 99% | 2,576 | 0,5% aan elke kant |
| 99,9% | 3,291 | 0,05% aan elke kant |
Gebruik je de t-verdeling, dan hangt de kritieke waarde ook af van het aantal waarnemingen. Bij 25 metingen (24 vrijheidsgraden) is de waarde voor 95% bijvoorbeeld 2,064 in plaats van 1,960. Hoe kleiner je steekproef, hoe groter dat verschil: bij 5 metingen is het al 2,776. Deze tool rekent die waarde precies voor je uit, dus je hebt geen tabel achter in je boek meer nodig.
Het verschil zit in wat je van de spreiding weet. Ken je de standaarddeviatie van de hele populatie, bijvoorbeeld omdat een machine al jaren dezelfde afwijking heeft, dan gebruik je de z-verdeling. Meestal ken je die niet en schat je de spreiding uit je eigen steekproef; dan gebruik je de t-verdeling. Die is iets breder, precies omdat je die schatting erbij hebt gemaakt. Bij grote steekproeven verdwijnt het verschil bijna helemaal: vanaf ongeveer 100 waarnemingen liggen de twee kritieke waarden nog maar iets uit elkaar. Twijfel je, kies dan de t-verdeling; dat is de voorzichtige keuze en de standaardinstelling van deze tool. Voor de standaarddeviatie heb je een aparte tool.
Bij een percentage of aandeel werkt het net zo, alleen ziet de standaardfout er anders uit. Je hebt geen standaarddeviatie nodig: die volgt uit het percentage zelf. Noem het aandeel in je steekproef p, dan geldt:
Voorbeeld: van 200 ondervraagden zeggen er 120 ja, dus p = 120 ÷ 200 = 0,6 oftewel 60%. De standaardfout is √(0,6 × 0,4 ÷ 200) ≈ 0,0346 oftewel 3,46%. Bij 95% is de foutmarge 1,96 × 3,46% ≈ 6,79%, dus het interval loopt van 53,21% tot 66,79%.
Op de middelbare school wordt in deze formule vaak met 2 gerekend in plaats van met 1,96. Dat scheelt weinig: in het voorbeeld hierboven zou je dan op 53,07% tot 66,93% uitkomen. Let wel op de vuistregel: gebruik deze formule alleen als je zowel minstens 5 successen als minstens 5 niet-successen hebt. Zit je daaronder, of ligt je percentage vlak bij 0% of 100%, dan kan er zelfs een ondergrens onder de 0% uitkomen. De tool waarschuwt daarvoor en laat dan ook de uitkomst van de wilson-methode zien, die wel netjes binnen 0% en 100% blijft.
Dit is de bekendste valkuil. Een 95%-betrouwbaarheidsinterval betekent niet dat er 95% kans is dat de werkelijke waarde in jouw interval ligt. De werkelijke waarde is een vast getal: die ligt er wel of niet in. De 95% slaat op de methode. Zou je je onderzoek honderd keer herhalen en elke keer op dezelfde manier een interval berekenen, dan zouden ongeveer 95 van die honderd intervallen de werkelijke waarde bevatten, en ongeveer 5 niet.
Een tweede misverstand: het interval zegt niets over waar losse waarnemingen liggen. Een 95%-interval voor het gemiddelde gewicht van pakken hagelslag betekent niet dat 95% van de pakken binnen dat bereik valt. Het gaat alleen over het gemiddelde. Wil je weten waar losse waarden liggen, kijk dan naar de spreiding zelf, bijvoorbeeld met de z-score of de interkwartielafstand.
Een smal interval betekent een nauwkeurige schatting. Er zijn drie knoppen om aan te draaien:
Kies eerst waarvoor je het interval wilt. Heb je het gemiddelde en de standaarddeviatie al, vul dan die twee in samen met het aantal waarnemingen. Heb je alleen je losse metingen, kies dan "ik heb een reeks getallen": typ in elk vakje één getal, of plak een hele reeks uit Excel, dan verdeelt de tool ze automatisch over losse vakjes. De tool berekent dan zelf het gemiddelde en de steekproefstandaarddeviatie. Gaat het om een percentage, vul dan het aantal successen en de steekproefgrootte in. Kies daarna je betrouwbaarheidsniveau en, bij een gemiddelde, de verdeling. Decimalen mag je met een komma of een punt schrijven. Je ziet meteen de onder- en bovengrens, de foutmarge, de kritieke waarde met het aantal vrijheidsgraden, de standaardfout, een tekening van het interval en een tabel met alle andere betrouwbaarheidsniveaus. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.
Neem je schatting en tel er aan beide kanten een foutmarge bij op. Die foutmarge is de kritieke waarde maal de standaardfout. Voor een gemiddelde is de standaardfout de standaarddeviatie gedeeld door de wortel uit het aantal waarnemingen. Bij een gemiddelde van 7,2, een standaarddeviatie van 1,4 en 25 metingen is de standaardfout 0,28 en de foutmarge bij 95% ongeveer 0,578, dus het interval loopt van 6,62 tot 7,78.
Dat de methode in 95 van de 100 gevallen een interval oplevert waar de werkelijke waarde in zit. Het betekent niet dat er 95% kans is dat de echte waarde in jouw ene interval ligt; die waarde is een vast getal en ligt er wel of niet in. De onzekerheid zit in de steekproef, niet in de werkelijkheid.
Gebruik de z-verdeling alleen als je de standaarddeviatie van de hele populatie kent. Schat je de spreiding uit je eigen steekproef, wat meestal zo is, gebruik dan de t-verdeling. Die geeft een iets breder interval omdat je een extra schatting hebt gemaakt. Bij grote steekproeven lopen ze bijna gelijk: bij 100 waarnemingen is de kritieke waarde 1,984 tegenover 1,960.
Deel het aantal successen door de steekproefgrootte; dat is je aandeel p. De standaardfout is de wortel uit p × (1 − p) ÷ n. Vermenigvuldig die met de kritieke waarde (1,96 bij 95%) en je hebt de foutmarge. Bij 120 van de 200 is p = 0,6, de standaardfout 3,46% en de foutmarge 6,79%, dus het interval loopt van 53,21% tot 66,79%.
Bijna altijd door een kleine steekproef of veel spreiding in je gegevens. De foutmarge hangt af van de standaarddeviatie gedeeld door de wortel uit het aantal waarnemingen, dus meer meten helpt het meest. Omdat het om een wortel gaat, heb je wel vier keer zoveel waarnemingen nodig om het interval half zo breed te maken. Ook een hoog betrouwbaarheidsniveau maakt het interval breder.
De helft van het interval: het stuk dat je aan beide kanten van je schatting bijtelt. Je ziet hem vaak terug bij opiniepeilingen, bijvoorbeeld "40% met een foutmarge van 3 procentpunt". Het interval loopt dan van 37% tot 43%. De foutmarge is de kritieke waarde maal de standaardfout.
Voor een schatting op school of in je hoofd is dat prima; veel schoolboeken doen het zo. Het verschil is klein: bij een percentage van 60% uit 200 waarnemingen kom je met 1,96 op 53,21% tot 66,79% en met 2 op 53,07% tot 66,93%. Voor een verslag of publicatie gebruik je beter de precieze waarde, en die rekent deze tool voor je uit.
Ja. De berekening draait volledig in je eigen browser; de getallen die je invoert verlaten je apparaat niet en worden nergens opgeslagen.
JaHandig