Bereken gratis en direct de z-score van een waarde. Vul de waarde, het gemiddelde en de standaarddeviatie in of plak een reeks getallen, en zie meteen de z-score en het percentiel.
De waarde waarvan je wilt weten hoe ver die van het gemiddelde af ligt.
Een z-score vertelt je hoeveel standaarddeviaties een waarde boven of onder het gemiddelde ligt. Daarmee wordt een los getal ineens veel begrijpelijker: een cijfer van 8 zegt weinig, maar "een 8 terwijl het klassengemiddelde een 6,5 is en de cijfers dicht bij elkaar liggen" zegt een heleboel. De z-score vat dat samen in één getal. Je berekent hem in twee stappen: trek eerst het gemiddelde van je waarde af en deel die uitkomst daarna door de standaarddeviatie.
Voorbeeld: je haalt een 8 voor een toets. Het klassengemiddelde is 6,5 en de standaarddeviatie is 1,2. De z-score is dan (8 − 6,5) ÷ 1,2 = 1,25. Jouw cijfer ligt dus 1,25 standaarddeviatie boven het gemiddelde, en daarmee hoor je bij de beste 11% van de klas.
In wiskundeboeken staat de formule met symbolen: z = (x − μ) ÷ σ. Daarin is x de waarde die je bekijkt, μ (spreek uit: mu) het gemiddelde en σ (spreek uit: sigma) de standaarddeviatie. Andere namen voor de z-score zijn standaardscore, standaardwaarde en het Engelse z-value; het gaat steeds om precies hetzelfde getal.
Het teken van de z-score zegt aan welke kant van het gemiddelde je zit. Een positieve z-score betekent boven het gemiddelde, een negatieve z-score onder het gemiddelde en een z-score van 0 betekent precies gemiddeld. Het getal zelf zegt hoe ver weg dat is. Kijk daarvoor naar de z-score zonder plus of min:
Deze percentages horen bij een normale verdeling: het bekende klokvormige patroon waarin de meeste waarden rond het gemiddelde liggen en er steeds minder voorkomen naarmate je verder naar de randen gaat. Lengtes, toetsscores en meetfouten volgen dat patroon vaak aardig. Wijkt jouw data er sterk van af, bijvoorbeeld doordat de getallen scheef verdeeld zijn, dan blijft de z-score gewoon te berekenen, maar zijn de kansen en het percentiel op deze pagina alleen een ruwe schatting.
Het percentiel vertelt welk deel van alle waarden lager is dan de jouwe. Zit je op het 90e percentiel, dan scoor je hoger dan 90% van de groep. Bij een normale verdeling hoort bij elke z-score een vast percentiel; deze tool rekent dat automatisch voor je uit. In de tabel hieronder staan de waarden die je het vaakst tegenkomt:
| Z-score | Percentiel (kans op een lagere waarde) | Kans op een hogere waarde |
|---|---|---|
| −3 | 0,13% | 99,87% |
| −2 | 2,28% | 97,72% |
| −1,96 | 2,50% | 97,50% |
| −1 | 15,87% | 84,13% |
| −0,5 | 30,85% | 69,15% |
| 0 | 50,00% | 50,00% |
| 0,5 | 69,15% | 30,85% |
| 1 | 84,13% | 15,87% |
| 1,96 | 97,50% | 2,50% |
| 2 | 97,72% | 2,28% |
| 3 | 99,87% | 0,13% |
De waarde 1,96 staat in die tabel omdat er precies 2,5% boven ligt en 2,5% onder −1,96. Samen is dat 5%, en daarom komt 1,96 zo vaak terug bij een betrouwbaarheidsinterval van 95%.
Heb je die twee nog niet, kies dan bovenin de tool voor "Ik heb een reeks getallen". De tool berekent ze dan zelf. Het gemiddelde is de som van alle getallen gedeeld door het aantal getallen. De standaarddeviatie laat zien hoe ver de getallen gemiddeld van dat gemiddelde af liggen en die bereken je zo:
Heb je alle gegevens van de hele groep, bijvoorbeeld de cijfers van iedereen in je klas, dan deel je onder het wortelteken door het aantal getallen (n). Dat is de populatiestandaarddeviatie en daar rekent deze tool standaard mee. Is je reeks een steekproef waarmee je iets wilt zeggen over een veel grotere groep, kies dan de optie "delen door het aantal getallen min 1". De uitkomst valt dan iets hoger uit, waardoor de z-scores iets kleiner worden. Op de middelbare school wordt vrijwel altijd door n gedeeld. Wil je alleen de spreiding weten, gebruik dan de aparte tool voor de standaarddeviatie of de variantie.
Ken je de z-score en wil je weten bij welke waarde die hoort? Draai de formule dan om:
Voorbeeld: bij een gemiddelde van 6,5 en een standaarddeviatie van 1,2 hoort bij een z-score van 2 het cijfer 6,5 + 2 × 1,2 = 8,9. Bij een negatieve z-score werkt het net zo: bij z = −1 vind je 6,5 + (−1) × 1,2 = 5,3.
Kies eerst wat je hebt. Weet je het gemiddelde en de standaarddeviatie al, vul dan die twee in samen met de waarde die je wilt onderzoeken. Heb je alleen een rij getallen, kies dan "Ik heb een reeks getallen": typ in elk vakje één getal (met de entertoets of de knop "Getal toevoegen" open je een volgend vakje) en vul daarna in van welke waarde je de z-score wilt. Plak je een hele reeks in een vakje, bijvoorbeeld uit Excel, dan worden de getallen automatisch over losse vakjes verdeeld. Decimalen mag je met een komma of een punt schrijven (8,5 of 8.5) en negatieve getallen typ je met een minteken. De uitkomst verschijnt direct in beeld, met een tekening van de normale verdeling, het percentiel, de kans op een hogere waarde en in de reeks-modus de z-score van elk getal apart. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.
In twee stappen: trek het gemiddelde van je waarde af en deel die uitkomst door de standaarddeviatie. Met symbolen: z = (x − μ) ÷ σ. Is je cijfer een 8, het gemiddelde een 6,5 en de standaarddeviatie 1,2, dan is de z-score (8 − 6,5) ÷ 1,2 = 1,25.
Dat je waarde onder het gemiddelde ligt. Een z-score van −1,5 betekent: anderhalve standaarddeviatie onder het gemiddelde. Een negatieve z-score is dus niet fout of raar, het is gewoon de andere kant van het gemiddelde. Bij een z-score van precies 0 is je waarde gelijk aan het gemiddelde.
Een vuistregel: tussen −1 en 1 is heel gewoon (ongeveer 68% van alle waarden), tussen 1 en 2 of −2 en −1 is aan de hoge of lage kant, tussen 2 en 3 is opvallend en boven 3 of onder −3 is uitzonderlijk. Bij die laatste groep hoort nog geen 3 op de 1.000 waarden; ze worden vaak uitschieters genoemd.
Via de normale verdeling. Het percentiel is het percentage waarden dat lager ligt dan die van jou. Bij z = 1 is dat 84,13%, bij z = 0 precies 50% en bij z = −1 nog 15,87%. Vroeger zocht je dat op in een z-tabel achter in je boek; deze tool rekent het meteen voor je uit en tekent er ook bij welk deel van de klokvorm het is.
Ja. Z-score, standaardscore en standaardwaarde zijn drie namen voor hetzelfde getal, in het Engels z-score of z-value. Let op het verschil met een t-score: die is uit een z-score afgeleid en wordt zo omgerekend dat het gemiddelde 50 is en de standaarddeviatie 10, zodat er geen negatieve getallen meer in voorkomen.
Heb je de gegevens van de hele groep waar het over gaat, gebruik dan de populatieversie: delen door het aantal getallen (n). Dat is de standaardinstelling van deze tool. Is je reeks een steekproef waarmee je iets over een veel grotere groep wilt zeggen, kies dan de steekproefversie: delen door n − 1. De standaarddeviatie valt dan iets hoger uit en de z-scores dus iets kleiner. Op de middelbare school wordt vrijwel altijd door n gedeeld.
Ja, dat kan, maar het komt zelden voor: bij een normale verdeling ligt maar 0,27% van alle waarden verder dan 3 standaarddeviaties van het gemiddelde. Krijg je zo'n uitkomst, controleer dan eerst je invoer. Klopt alles, dan heb je een echte uitschieter te pakken. Let ook op de omvang van je reeks: reken je met de populatiestandaarddeviatie, dan kan de z-score nooit hoger worden dan de wortel uit (het aantal getallen − 1). In een reeks van tien getallen is 3 dus meteen het maximum.
Ja. De berekening draait volledig in je eigen browser; de getallen die je invoert verlaten je apparaat niet en worden nergens opgeslagen.
JaHandig