Bereken gratis en direct een ANOVA. Vergelijk de gemiddelden van meerdere groepen in één keer en zie meteen de F-waarde, de p-waarde, de ANOVA-tabel en de conclusie.
De klassieke ANOVA is de variant uit de schoolboeken. Verschilt de spreiding sterk tussen je groepen, dan is de Welch-ANOVA betrouwbaarder; de tool waarschuwt je als dat speelt.
Een ANOVA onderzoekt of de gemiddelden van meerdere groepen echt van elkaar verschillen, of dat het gevonden verschil ook door toeval kan zijn ontstaan. De afkorting komt van het Engelse analysis of variance; in het Nederlands heet het variantieanalyse. Je gebruikt hem zodra je drie of meer groepen tegelijk wilt vergelijken: drie lesmethodes, vier soorten mest, vijf filialen.
De naam is een beetje verwarrend, want je bent eigenlijk in gemiddelden geïnteresseerd en niet in varianties. Toch klopt hij, want de truc van de toets is dat hij twee soorten spreiding tegen elkaar afzet. De eerste is de spreiding tussen de groepen: hoe ver liggen de groepsgemiddelden uit elkaar? De tweede is de spreiding binnen de groepen: hoe veel verschillen de metingen binnen één groep onderling? Die twee deel je op elkaar en dat getal heet de F-waarde:
Denk aan geluid. De spreiding binnen de groepen is de ruis: die is er altijd, want geen twee metingen zijn precies gelijk. De spreiding tussen de groepen is het signaal dat je zoekt. Is het signaal niet duidelijk luider dan de ruis, dan komt F in de buurt van 1 en heb je niets aangetoond. Hoe verder F boven de 1 uitkomt, hoe onwaarschijnlijker het is dat toeval alleen je groepen zo ver uit elkaar heeft geduwd.
Je zou drie groepen ook twee aan twee kunnen vergelijken met een t-toets: A tegen B, A tegen C en B tegen C. Dat lijkt logisch, maar het gaat mis. Bij een significantieniveau van 5% accepteer je per toets een kans van 5% dat je iets vindt dat er niet is. Doe je drie toetsen, dan is de kans dat je minstens één keer misgrijpt niet 5% maar ongeveer 14%. Bij vijf groepen zijn er al tien vergelijkingen en loopt die kans op tot ongeveer 40%: dan is een vals alarm bijna waarschijnlijker dan een schone uitkomst.
| Aantal groepen | Aantal t-toetsen | Kans op minstens één vals alarm |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 5% |
| 3 | 3 | 14% |
| 4 | 6 | 26% |
| 5 | 10 | 40% |
| 6 | 15 | 54% |
De ANOVA lost dat op door alle groepen in één toets te behandelen. Je houdt dus één p-waarde en één risico van 5%, hoeveel groepen je ook vergelijkt.
Om de twee soorten spreiding te meten, splitst de ANOVA de totale spreiding in je gegevens in twee stukken. Dat gebeurt met kwadratensommen, meestal afgekort tot SS (van sum of squares). Net als bij de variantie kwadrateer je alle afwijkingen, zodat een afwijking naar boven en een naar beneden elkaar niet opheffen.
Kwadratensommen zijn nog niet vergelijkbaar, want SS tussen is opgebouwd uit een paar groepen en SS binnen uit alle losse metingen. Daarom deel je elk stuk door zijn eigen aantal vrijheidsgraden. Wat je dan krijgt heet een gemiddeld kwadraat (MS, van mean square), en dat is gewoon een variantie:
MS binnen is trouwens niets anders dan het gemiddelde van de varianties van je groepen, gewogen naar hun omvang. Het is dus je beste schatting van de ruis, en die schatting klopt of de nulhypothese nu waar is of niet. MS tussen daarentegen wordt groter zodra de gemiddelden echt uit elkaar liggen. Daarom is de verhouding van die twee zo'n handige maat.
Een school probeert drie lesmethodes uit en geeft daarna dezelfde toets. In elke groep zitten vijf leerlingen. Dit zijn de cijfers:
| Groep | Cijfers | Gemiddelde |
|---|---|---|
| Klassikaal | 6, 7, 5, 8, 6 | 6,4 |
| Online | 7, 8, 9, 7, 8 | 7,8 |
| Combinatie | 8, 9, 9, 10, 8 | 8,8 |
Die p-waarde is veel kleiner dan 0,05, dus de conclusie is: de drie lesmethodes leveren niet allemaal hetzelfde gemiddelde op. De kritieke waarde ligt hier op 3,885 en jouw 8,07 ligt daar ruim boven, wat natuurlijk tot dezelfde conclusie leidt. Vul het voorbeeld in de rekenmachine hierboven in, dan zie je precies deze getallen terug in de ANOVA-tabel.
Vrijwel elk statistiekprogramma geeft de uitkomst in dezelfde tabel, en deze tool ook. Voor het voorbeeld hierboven ziet die er zo uit:
| Bron van variatie | SS | df | MS | F | p |
|---|---|---|---|---|---|
| Tussen de groepen | 14,533 | 2 | 7,267 | 8,074 | 0,006 |
| Binnen de groepen | 10,800 | 12 | 0,900 | ||
| Totaal | 25,333 | 14 |
Twee controles helpen je om te zien of je goed hebt gerekend. De twee kwadratensommen bovenaan moeten precies optellen tot de totale kwadratensom (14,533 + 10,8 = 25,333), en hetzelfde geldt voor de vrijheidsgraden (2 + 12 = 14). Die 14 is altijd het totale aantal metingen min 1.
In een verslag rapporteer je dit meestal in één regel, met de vrijheidsgraden tussen haakjes achter de F: F(2, 12) = 8,07; p = 0,006; η² = 0,57. Zet de effectgrootte er altijd bij, want zonder die laatste is niet te zien of het gevonden verschil ook groot genoeg is om iets mee te doen.
De p-waarde is de kans om groepsgemiddelden te vinden die minstens zo ver uit elkaar liggen als de jouwe, als alle groepen in werkelijkheid hetzelfde gemiddelde zouden hebben. In het voorbeeld: als de drie lesmethodes even goed werken, zou je in ongeveer 6 van de 1000 onderzoeken toch zo'n verschil zien, puur door toeval.
Die p-waarde vergelijk je met het significantieniveau, meestal 5%. Is p kleiner, dan noem je het resultaat significant en verwerp je de nulhypothese dat alle gemiddelden gelijk zijn. Is p groter, dan houd je de nulhypothese aan. Let daarbij op de formulering: je hebt dan niet bewezen dat de groepen gelijk zijn, je hebt alleen niet genoeg bewijs gevonden dat ze verschillen. Meer over deze kans lees je bij de p-waarde.
Een significante ANOVA vertelt je bovendien alleen dát er minstens één groep uit de toon valt, niet welke. Daarvoor kijk je naar de vergelijking per paar, verderop op deze pagina beschreven.
Naast de p-waarde kun je met de kritieke waarde werken; dat is de methode uit de meeste schoolboeken. De kritieke waarde is de grens waarboven een F-waarde te groot is om nog aan toeval toe te schrijven. De F-toets is altijd rechtszijdig: alleen een gróte F spreekt de nulhypothese tegen, want een kleine F betekent juist dat de groepen dicht bij elkaar liggen.
Die grens hangt af van twee aantallen vrijheidsgraden tegelijk, en daarom is een F-tabel altijd zo'n groot blok cijfers. Het eerste getal hoort bij de teller (het aantal groepen min 1), het tweede bij de noemer (het totale aantal metingen min het aantal groepen). Hier staan de waarden die je bij 5% het vaakst tegenkomt:
| Vrijheidsgraden (tussen en binnen) | Kritieke waarde bij 5% |
|---|---|
| 2 en 12 | 3,885 |
| 2 en 27 | 3,354 |
| 3 en 16 | 3,239 |
| 3 en 20 | 3,098 |
| 4 en 30 | 2,690 |
| 5 en 100 | 2,305 |
Deze tool rekent de kritieke waarde exact voor je uit bij precies jouw aantallen, dus je hebt de tabel achter in je boek niet meer nodig. In de laatste tabel onder de uitkomst zie je bovendien meteen wat er met je conclusie gebeurt bij een strenger of losser significantieniveau.
Significant betekent alleen "waarschijnlijk niet door toeval". Het zegt niets over hoe belangrijk het verschil is, want bij heel grote steekproeven wordt zelfs een piepklein verschil significant. Daarvoor kijk je naar de effectgrootte. De bekendste bij een ANOVA is eta-kwadraat:
Eta-kwadraat (spreek uit: èta) is dus het deel van de totale spreiding dat door de groepsindeling wordt verklaard. In het voorbeeld is dat 14,53 ÷ 25,33 = 0,57, oftewel 57% van de verschillen tussen de cijfers hangt samen met de lesmethode. Als vuistregel geldt: vanaf ongeveer 0,01 een klein effect, vanaf 0,06 een middelmatig effect en vanaf 0,14 een groot effect.
Eta-kwadraat heeft één nadeel: hij valt in een steekproef altijd iets te hoog uit. Omega-kwadraat (ω²) corrigeert daarvoor en is dus een zuiverdere schatting van het effect in de hele populatie. Bij grote groepen liggen de twee dicht bij elkaar, bij kleine groepen scheelt het merkbaar; in het voorbeeld is η² = 0,57 tegenover ω² = 0,49. Deze tool berekent ze allebei.
De derde maat is Cohens f. Die heb je nodig als je vooraf wilt uitrekenen hoeveel deelnemers je nodig hebt (een poweranalyse). Hij is rechtstreeks uit eta-kwadraat af te leiden:
Bij Cohens f heet 0,10 klein, 0,25 middelmatig en 0,40 groot. Anders dan de p-waarde hangen deze drie maten niet af van hoe groot je steekproef is, en daarom horen ze standaard in je rapportage thuis.
Een significante ANOVA zegt dat minstens één groep afwijkt, maar niet welke. Om dat te weten te komen vergelijk je de groepen alsnog twee aan twee, met wat een post-hoc toets heet ("post hoc" is Latijn voor "achteraf"). En dan komt precies het probleem terug waar je de ANOVA voor gebruikte: bij drie groepen doe je opnieuw drie vergelijkingen.
De oplossing is een correctie. Deze tool gebruikt de correctie van Bonferroni: elke p-waarde wordt vermenigvuldigd met het aantal vergelijkingen dat je doet. Bij drie groepen dus met 3. Een ruwe p-waarde van 0,02 wordt daarmee 0,06 en is dan net niet meer significant. De methode is streng en daardoor voorzichtig, maar hij is eenvoudig uit te leggen en te controleren, en hij staat in elk statistiekprogramma. Alternatieven die iets minder streng zijn, zijn Tukey en Schéffé.
In het lesmethode-voorbeeld blijft na de correctie alleen het verschil tussen klassikaal en de combinatiemethode overeind (verschil 2,4 punt, p = 0,005). De twee andere vergelijkingen zijn na correctie niet significant meer. Dat is een typische uitkomst: de ANOVA vindt sneller iets dan de losse vergelijkingen erna, omdat hij alle informatie in één keer gebruikt.
Belangrijk: kijk pas naar deze tabel als de ANOVA zelf significant is. Anders ga je alsnog vissen naar toevalstreffers, en dat is precies wat je wilde voorkomen.
Voor een betrouwbare uitkomst moet je situatie aan een paar voorwaarden voldoen. Loop ze even langs:
De ANOVA is redelijk robuust: bij groepen van gelijke omvang mag je best wat afwijken van normaliteit en gelijke spreiding zonder dat de uitkomst onbruikbaar wordt. Vervelend wordt het pas als beide problemen samenvallen met groepen van heel ongelijke omvang. Deze tool waarschuwt je als die situatie zich voordoet.
De klassieke ANOVA is die van Fisher en staat in vrijwel elk schoolboek. Hij voegt de spreiding van alle groepen samen tot één schatting van de ruis, en dat mag alleen als die spreiding overal ongeveer gelijk is. De Welch-ANOVA doet die aanname niet: hij weegt elke groep met zijn eigen spreiding en past daarna het aantal vrijheidsgraden aan. Daar komt dan meestal een getal met decimalen uit, zoals 32,06.
Wanneer kies je wat? Werk je aan een opgave of een tentamen, dan wordt vrijwel altijd de klassieke ANOVA bedoeld; die staat hier standaard aan. Doe je echt onderzoek en verschilt de spreiding tussen je groepen merkbaar, dan is Welch de veiligere keuze. Hij is bijna even goed als de spreiding toevallig wél gelijk is en een stuk betrouwbaarder als dat niet zo is. Bij kleine groepen is Welch wel voorzichtiger: hij heeft minder vrijheidsgraden en vindt daardoor iets minder snel een significant resultaat.
Vergelijk je precies twee groepen, dan doet een ANOVA overigens exact hetzelfde als een t-toets. De F-waarde is dan het kwadraat van de t-waarde en de p-waarde is identiek. Ook daar geldt de keuze tussen klassiek en Welch op dezelfde manier.
Wil je je uitkomst met een ander hulpmiddel controleren, dan kan dat zo:
Kies bovenaan eerst wat je bij de hand hebt. Heb je de losse metingen, dan krijg je een rooster waarin elke kolom één groep is; boven de kolom vul je desgewenst een naam in. Met de entertoets ga je naar het vakje eronder, en onderaan komt er vanzelf een rij bij. Plak je een blok uit Excel, dan wordt elke kolom daarvan automatisch een groep. Je groepen hoeven niet even groot te zijn: lege vakjes worden overgeslagen. Met de knoppen eronder voeg je groepen of rijen toe, en met het kruisje haal je ze weer weg.
Ken je alleen het gemiddelde, de standaarddeviatie en het aantal per groep, kies dan de tweede optie. Gebruik de standaarddeviatie van de steekproef, dus die met n − 1 in de noemer; dat is wat een rekenmachine of Excel standaard geeft. Decimalen mag je met een komma of een punt schrijven.
Kies tot slot welke variant je wilt en welk significantieniveau je aanhoudt. Je ziet meteen de F-waarde, de p-waarde, de vrijheidsgraden, de kritieke waarde, drie maten voor de effectgrootte, een tekening van de F-verdeling met het verwerpingsgebied, een overzicht van je groepen, de complete ANOVA-tabel, de vergelijking per paar groepen en een tabel met de conclusie bij andere significantieniveaus. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.
Je deelt de spreiding tussen de groepen door de spreiding binnen de groepen. Reken eerst SS tussen uit (per groep het aantal maal het gekwadrateerde verschil tussen het groepsgemiddelde en het totaalgemiddelde) en SS binnen (alle gekwadrateerde afwijkingen van het eigen groepsgemiddelde). Deel die door hun vrijheidsgraden, dus door het aantal groepen min 1 en door het aantal metingen min het aantal groepen. De verhouding van die twee is F. Bij drie groepen van vijf met SS tussen 14,53 en SS binnen 10,8 wordt dat F = 7,27 ÷ 0,9 = 8,07 met p ≈ 0,006.
Een t-toets vergelijkt twee gemiddelden, een ANOVA vergelijkt er drie of meer in één keer. Bij precies twee groepen geven ze exact hetzelfde antwoord: de F-waarde is dan het kwadraat van de t-waarde en de p-waarde is identiek. Vanaf drie groepen is de ANOVA nodig, omdat losse t-toetsen de kans op een toevallig significant resultaat sterk opdrijven.
Omdat elke extra toets de kans op een vals alarm vergroot. Bij een significantieniveau van 5% is de kans op minstens één toevallige treffer bij drie vergelijkingen al ongeveer 14%, bij tien vergelijkingen ongeveer 40%. De ANOVA behandelt alle groepen in één toets, zodat je risico op 5% blijft staan. Wil je daarna toch per paar vergelijken, gebruik dan een correctie zoals die van Bonferroni.
De F-waarde is de verhouding tussen de spreiding tussen de groepen en de spreiding binnen de groepen, oftewel signaal gedeeld door ruis. Rond de 1 betekent dat de groepen niet verder uit elkaar liggen dan je op grond van de gewone variatie zou verwachten. Hoe hoger F, hoe sterker het bewijs dat minstens één groep echt afwijkt. F kan nooit negatief zijn.
Er is geen vaste grens: die hangt af van beide aantallen vrijheidsgraden. Bij 2 en 12 vrijheidsgraden ligt de grens bij 5% op 3,885, bij 3 en 20 op 3,098 en bij 5 en 100 op 2,305. Ligt jouw F daarboven, dan is je resultaat significant. Bij grotere steekproeven zakt die grens, dus dan is een lagere F al genoeg.
Er zijn er twee. De vrijheidsgraden tussen de groepen zijn het aantal groepen min 1, de vrijheidsgraden binnen de groepen zijn het totale aantal metingen min het aantal groepen. Bij drie groepen van vijf metingen is dat dus 2 en 12. Samen zijn ze altijd het totale aantal metingen min 1. Bij de Welch-ANOVA wordt het tweede getal apart berekend en komt er meestal een getal met decimalen uit.
Dat minstens één van je groepen een ander gemiddelde heeft dan de andere. Meer niet: de toets zegt niet welke groep dat is en ook niet hoeveel groepen afwijken. Om dat te achterhalen vergelijk je de groepen daarna twee aan twee met een post-hoc toets. Is de ANOVA niet significant, dan houd je de nulhypothese aan dat alle gemiddelden gelijk zijn; dat is geen bewijs dat ze echt gelijk zijn.
Een vergelijking per paar groepen die je uitvoert nadat de ANOVA significant is gebleken. Omdat je daarbij meerdere toetsen tegelijk doet, hoort er een correctie bij. Deze tool gebruikt de correctie van Bonferroni: elke p-waarde wordt vermenigvuldigd met het aantal vergelijkingen. Bij drie groepen zijn dat er drie. Tukey en Schéffé zijn bekende alternatieven die iets minder streng zijn.
Eta-kwadraat (η²) is de effectgrootte bij een ANOVA: het deel van de totale spreiding dat door de groepsindeling wordt verklaard. Je berekent hem als SS tussen gedeeld door SS totaal. Een waarde van 0,57 betekent dus dat 57% van de verschillen samenhangt met de groep. Als vuistregel is 0,01 klein, 0,06 middelmatig en 0,14 groot. Omega-kwadraat is een zuiverdere variant die de overschatting in kleine steekproeven corrigeert.
Als de spreiding duidelijk verschilt tussen je groepen, bijvoorbeeld wanneer de grootste standaarddeviatie meer dan twee keer de kleinste is. De klassieke ANOVA gaat namelijk uit van gelijke spreiding en kan er dan naast zitten, zeker bij groepen van ongelijke omvang. Welch weegt elke groep met zijn eigen spreiding en past de vrijheidsgraden aan. Bij een schoolopgave wordt meestal de klassieke ANOVA bedoeld.
Technisch kan de toets al vanaf twee metingen per groep, maar dan is hij erg onbetrouwbaar. In de praktijk wordt vaak minstens 5 tot 10 per groep aangehouden, en voor het aantonen van een klein effect heb je er al snel enkele tientallen nodig. Even grote groepen zijn daarbij een groot voordeel: dan is de ANOVA veel minder gevoelig voor afwijkingen van de voorwaarden.
Ja. De berekening draait volledig in je eigen browser; de getallen die je invoert verlaten je apparaat niet en worden nergens opgeslagen.
JaHandig