Voer gratis en direct een chi-kwadraattoets uit. Kies een aanpassingstoets of een kruistabel en zie meteen de chi-kwadraatwaarde, de p-waarde en de conclusie.
De grens waaronder je de p-waarde klein genoeg vindt om de nulhypothese te verwerpen.
Met een chi-kwadraattoets onderzoek je of aantallen die je hebt geteld echt afwijken van de aantallen die je had verwacht, of dat het verschil ook door toeval kan zijn ontstaan. Je gebruikt hem dus niet voor gemiddelden of metingen op een schaal, maar voor tellingen in categorieën: hoeveel keer je een 6 gooide, hoeveel mensen op partij A stemden, hoeveel leerlingen wel of niet sporten. De toets wordt geschreven als χ², waarbij χ de Griekse letter chi is (spreek uit: gie of kie).
Het idee is simpel. Voor elke categorie bereken je het verschil tussen het waargenomen en het verwachte aantal, je kwadrateert dat verschil (net als bij de variantie) en je deelt het door het verwachte aantal. Al die uitkomsten tel je bij elkaar op:
Het kwadrateren zorgt ervoor dat een afwijking naar boven en een even grote afwijking naar beneden allebei even zwaar meetellen; anders zouden ze elkaar opheffen. Het delen door het verwachte aantal maakt de afwijking relatief: 5 meer dan verwacht is heel wat bij een verwachting van 10, maar niets bijzonders bij een verwachting van 1000. In wiskundeboeken zie je vaak de korte notatie met Σ (spreek uit: sigma), het teken voor "de som van".
De uitkomst is nooit negatief. Hoe groter χ², hoe verder je tellingen van je verwachting af liggen en hoe minder waarschijnlijk het is dat toeval alleen daarvoor kan zorgen.
Welke variant je nodig hebt, hangt af van je vraag. Deze rekenmachine heeft ze allebei:
| Soort | Wanneer gebruik je hem | Voorbeeld |
|---|---|---|
| Aanpassingstoets | Je hebt één kenmerk met een paar categorieën en wilt weten of de verdeling klopt met wat je verwachtte | Komt elk aantal ogen even vaak voor bij 60 worpen met deze dobbelsteen? |
| Onafhankelijkheidstoets | Je hebt twee kenmerken van dezelfde personen of dingen en wilt weten of ze samenhangen | Sporten leerlingen uit klas A vaker dan leerlingen uit klas B? |
De aanpassingstoets heet ook wel de toets op goodness of fit. De onafhankelijkheidstoets werkt met een kruistabel, ook wel contingentietabel genoemd: een tabel waarin de ene indeling in de rijen staat en de andere in de kolommen. Het rekenwerk is bij beide precies hetzelfde; alleen de manier waarop je de verwachte aantallen bepaalt verschilt.
Je gooit 60 keer met een dobbelsteen en telt hoe vaak elk aantal ogen valt: 8, 12, 9, 14, 7 en 10 keer. Bij een zuivere dobbelsteen verwacht je elk aantal ogen 60 ÷ 6 = 10 keer. Klopt dat nog?
Die p-waarde is veel groter dan 0,05, dus je houdt de nulhypothese aan: deze uitslagen passen prima bij een zuivere dobbelsteen. De kritieke waarde ligt hier bij 11,07 en daar zit 3,4 ruim onder. Let op wat dat wel en niet betekent: je hebt niet bewezen dat de dobbelsteen zuiver is, je hebt alleen geen bewijs gevonden dat hij dat niet is.
Je vraagt 100 leerlingen of ze wekelijks sporten en noteert er meteen bij uit welke klas ze komen. Dat levert deze kruistabel op:
| Klas A | Klas B | Totaal | |
|---|---|---|---|
| Wel gesport | 30 | 20 | 50 |
| Niet gesport | 10 | 40 | 50 |
| Totaal | 40 | 60 | 100 |
De verwachte aantallen haal je hier niet uit een theorie, maar uit de tabel zelf. Als klas en sporten niets met elkaar te maken hebben, dan hoort in elke cel het rijtotaal maal het kolomtotaal, gedeeld door het totale aantal waarnemingen:
Voor de cel "klas A en wel gesport" is dat 50 × 40 ÷ 100 = 20. Zo kom je op verwachte aantallen van 20, 30, 20 en 30. De bijdragen zijn dan 100 ÷ 20, 100 ÷ 30, 100 ÷ 20 en 100 ÷ 30, samen χ² ≈ 16,67. Het aantal vrijheidsgraden is (2 − 1) × (2 − 1) = 1, en daar hoort p ≈ 0,000045 bij. Dat is veel kleiner dan 0,05: het verschil tussen de klassen is bijna zeker geen toeval.
Naast de p-waarde kun je ook met de kritieke waarde werken; dat is de methode die in de meeste schoolboeken staat. De kritieke waarde is de grens waarboven een chi-kwadraatwaarde te groot is om nog aan toeval toe te schrijven. Is jouw χ² groter, dan verwerp je de nulhypothese. Beide methoden geven altijd dezelfde conclusie.
Die grens hangt af van het aantal vrijheidsgraden, meestal afgekort tot df. Je berekent dat zo:
Waarom min 1? Omdat de totalen vastliggen. Weet je bij zes categorieën vijf aantallen en het totaal, dan ligt het zesde aantal ook vast: dat kan niet meer vrij variëren. In deze tabel staan de kritieke waarden die je het vaakst tegenkomt:
| Vrijheidsgraden (df) | Kritieke waarde bij 5% | Kritieke waarde bij 1% |
|---|---|---|
| 1 | 3,841 | 6,635 |
| 2 | 5,991 | 9,210 |
| 3 | 7,815 | 11,345 |
| 4 | 9,488 | 13,277 |
| 5 | 11,070 | 15,086 |
| 6 | 12,592 | 16,812 |
| 8 | 15,507 | 20,090 |
| 10 | 18,307 | 23,209 |
Je ziet dat de grens oploopt naarmate je meer categorieën hebt. Dat is logisch: bij meer categorieën zijn er ook meer plekken waar toevallige afwijkingen kunnen ontstaan, dus is er meer nodig voordat het geheel opvalt. Deze tool rekent de kritieke waarde exact voor je uit, dus je hebt geen tabel achter in je boek meer nodig.
De p-waarde is de kans om een afwijking te vinden die minstens zo groot is als de jouwe, als de nulhypothese waar zou zijn. In het dobbelsteenvoorbeeld: als de dobbelsteen echt zuiver is, dan zou je in ongeveer 64% van de series van 60 worpen een verdeling zien die minstens zo scheef is als deze. Dat is heel gewoon, dus er is geen reden om aan de dobbelsteen te twijfelen.
Je vergelijkt die p-waarde met het significantieniveau (α), meestal 5%. Is p kleiner dan α, dan noem je het resultaat significant en verwerp je de nulhypothese. Is p groter, dan houd je de nulhypothese aan. Let daarbij op twee veelgemaakte fouten: de p-waarde is niet de kans dat de nulhypothese waar is, en een kleine p-waarde betekent niet dat het verband groot of belangrijk is. Bij een heel grote steekproef wordt zelfs een piepklein verschil significant.
Anders dan bij een t-toets hoef je bij de chi-kwadraattoets niet te kiezen tussen eenzijdig en tweezijdig. Elke afwijking van je verwachting, in welke richting dan ook, maakt χ² groter. Daarom kijk je altijd naar de rechterstaart van de verdeling, precies zoals in de grafiek in deze tool.
Voor een betrouwbare uitkomst moet je situatie aan een paar voorwaarden voldoen. Loop ze even langs:
Haal je die laatste voorwaarde niet, dan zijn er drie uitwegen: categorieën samenvoegen tot grotere groepen, meer waarnemingen verzamelen, of overstappen op de exacte toets van Fisher. Die laatste is bij een tabel van 2 bij 2 met kleine aantallen de gebruikelijke keuze.
Significant betekent alleen "waarschijnlijk niet door toeval". Het zegt niets over hoe sterk het verband is, want χ² groeit gewoon mee met het aantal waarnemingen: verdubbel je alle aantallen, dan verdubbelt χ² ook, terwijl het patroon precies hetzelfde blijft. Daarvoor bestaat een aparte maat, Cramérs V:
Daarin is N het totale aantal waarnemingen en k de kleinste van (aantal rijen − 1) en (aantal kolommen − 1). Cramérs V ligt altijd tussen 0 en 1 en hangt niet af van de omvang van je steekproef. Als vuistregel geldt: rond 0,1 is een klein verband, rond 0,3 middelmatig en vanaf 0,5 groot. In het klassenvoorbeeld hierboven komt daar V ≈ 0,41 uit, dus een middelmatig verband. Bij een aanpassingstoets gebruik je dezelfde formule met k = 1; die maat heet dan Cohens w. Deze tool berekent hem automatisch en zet er meteen bij hoe groot het verband is.
Wil je je uitkomst met een ander hulpmiddel controleren, dan kan dat zo:
Kies bovenaan eerst welke toets bij jouw vraag past. Bij de aanpassingstoets geef je daarna aan waar de verwachte aantallen vandaan komen: elke categorie even waarschijnlijk (dan verdeelt de tool je totaal zelf gelijk), zelf ingevulde verwachte aantallen, of een verhouding zoals 9 : 3 : 3 : 1, die de tool voor je omrekent naar aantallen. Percentages mag je bij die laatste keuze ook invullen. Vul vervolgens per categorie de naam en het getelde aantal in; de namen zijn niet verplicht, maar maken de uitkomst wel makkelijker te lezen. Bij de onafhankelijkheidstoets vul je een kruistabel in en kun je met de knoppen eronder rijen en kolommen toevoegen; met het kruisje haal je er een weg. Enter opent steeds het volgende vakje, en plak je een blok cijfers uit Excel, dan verdeelt de tool die automatisch over de tabel. Je ziet meteen de chi-kwadraatwaarde, de p-waarde, de vrijheidsgraden, de kritieke waarde, de effectgrootte, een tekening van de verdeling met het verwerpingsgebied, een tabel met de verwachte aantallen en de bijdrage per cel, en een tabel met de conclusie bij andere significantieniveaus. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.
Een toets waarmee je onderzoekt of getelde aantallen echt afwijken van de aantallen die je had verwacht, of dat toeval het verschil ook kan verklaren. Je gebruikt hem voor categorieën, dus niet voor gemiddelden. Er zijn twee varianten: de aanpassingstoets voor één kenmerk en de onafhankelijkheidstoets voor een kruistabel met twee kenmerken.
Neem per categorie het verschil tussen het waargenomen en het verwachte aantal, kwadrateer dat en deel het door het verwachte aantal. Tel al die uitkomsten op. Gooi je 60 keer met een dobbelsteen en tel je 8, 12, 9, 14, 7 en 10 keer elk aantal ogen, dan verwacht je overal 10 en is χ² = (4 + 4 + 1 + 16 + 9 + 0) ÷ 10 = 3,4.
Bij een aanpassingstoets komen ze uit je verwachting: bij gelijke kansen is dat het totaal gedeeld door het aantal categorieën, en anders het totaal maal de verwachte verhouding. Bij een kruistabel bereken je ze per cel als het rijtotaal maal het kolomtotaal, gedeeld door het totale aantal waarnemingen. Deze tool doet dat allebei automatisch en laat de uitkomst per cel zien.
Bij een aanpassingstoets is dat het aantal categorieën min 1. Bij een onafhankelijkheidstoets is het (aantal rijen − 1) × (aantal kolommen − 1), dus bij een tabel van 2 bij 2 komt daar 1 uit. Er gaat steeds 1 af omdat de totalen vastliggen: de laatste waarde kan niet meer vrij variëren.
Als je χ² groter is dan de kritieke waarde die bij jouw vrijheidsgraden hoort, of, wat op hetzelfde neerkomt, als de p-waarde kleiner is dan het significantieniveau (meestal 5%). Bij 1 vrijheidsgraad ligt die grens op 3,841, bij 3 op 7,815 en bij 5 op 11,070. Deze tool rekent de grens exact uit en zet de conclusie er meteen bij.
De vuistregel is dat hoogstens 20% van de cellen een verwacht aantal onder de 5 heeft en dat geen enkele cel onder de 1 zit. Haal je dat niet, dan is de p-waarde een ruwe schatting. Je kunt dan categorieën samenvoegen, meer waarnemingen verzamelen of bij een tabel van 2 bij 2 de exacte toets van Fisher gebruiken. Deze voorwaarde gaat over de verwachte aantallen, niet over de waargenomen.
Een t-toets vergelijkt gemiddelden van metingen op een schaal, zoals gewicht, tijd of een cijfer. Een chi-kwadraattoets vergelijkt aantallen in categorieën, zoals kleur, merk of ja en nee. Wil je weten of twee groepen gemiddeld verschillen, gebruik dan de t-toets; wil je weten of een verdeling over categorieën afwijkt, gebruik dan chi-kwadraat.
Nee, bij de waargenomen gegevens niet. De toets gaat uit van echte tellingen, want hoe meer waarnemingen je hebt, hoe zwaarder een afwijking telt. Vul je percentages in, dan rekent de toets alsof je precies 100 waarnemingen hebt. Bij de verwachte verdeling mag het wel: kies dan de optie voor een verhouding, dan rekent deze tool je percentages zelf om naar aantallen.
Nee. Een significante chi-kwadraattoets laat zien dat twee kenmerken samenhangen, niet dat het ene het andere veroorzaakt. Er kan een derde factor achter zitten die beide beïnvloedt. Kijk daarnaast altijd naar de effectgrootte (Cramérs V): bij heel veel waarnemingen wordt zelfs een piepklein verband al significant.
Ja. De berekening draait volledig in je eigen browser; de aantallen die je invoert verlaten je apparaat niet en worden nergens opgeslagen.
JaHandig