Bereken gratis en direct een binomiale kans. Vul het aantal pogingen, de slaagkans en het aantal successen in en zie meteen de kans op precies, hoogstens of minstens zoveel successen.
De tool berekent de kans dat het precies dit aantal keer lukt.
Een binomiale kans is de kans op een bepaald aantal keer "raak" bij een vast aantal pogingen, waarbij elke poging dezelfde slaagkans heeft. Denk aan tien keer een munt opgooien en je afvragen hoe groot de kans is dat je precies drie keer kop gooit, of aan een toets met twintig meerkeuzevragen waarbij je alles gokt. Elke poging heeft maar twee mogelijke uitkomsten: het lukt (een succes) of het lukt niet. Zet je de kans op 0, 1, 2, 3 … successen naast elkaar, dan krijg je de binomiale verdeling.
De kans op precies k successen bereken je met deze formule:
Daarin is n het aantal pogingen, p de kans op succes bij één poging en k het aantal successen waar je naar vraagt. P(X = k) lees je als: de kans dat het aantal successen X precies gelijk is aan k. Het getal tussen de grote haakjes spreek je uit als "n boven k"; op een rekenmachine heet die knop nCr.
De formule oogt ingewikkeld, maar bestaat uit drie losse onderdelen die je met elkaar vermenigvuldigt:
Dat aantal volgordes bereken je met faculteiten:
Het uitroepteken betekent faculteit: je vermenigvuldigt alle hele getallen tot en met dat getal. Zo is 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Verder is 0! gelijk aan 1, wat handig is voor de randgevallen k = 0 en k = n: er is dan maar één mogelijke volgorde.
Je gooit 10 keer met een eerlijke munt en wilt de kans op precies 3 keer kop weten. Dan is n = 10, p = 0,5 en k = 3. In vier stappen:
De kans is dus ongeveer 11,72%, oftewel iets minder dan 1 op de 9 keer. Vul je n = 10, een kans van 50% en k = 3 in de rekenmachine hierboven in, dan zie je precies dat getal terug, samen met de hele verdeling in een staafdiagram.
De formule klopt alleen als je situatie aan vier voorwaarden voldoet. Loop ze even langs voordat je gaat rekenen:
Een bekend voorbeeld waar het misgaat: kaarten trekken uit een stapel zonder ze terug te leggen. De kans verandert dan bij elke trekking, want er blijven minder kaarten over. Leg je elke kaart wel terug, dan mag je de binomiale verdeling weer gewoon gebruiken.
In opgaven zit het venijn vaak in één woord. "Minstens 3" is iets anders dan "meer dan 3", en dat scheelt een heel stuk kans. Deze tool heeft voor elke variant een aparte optie, zodat je nooit hoeft te gokken. In dit overzicht zie je welke aantallen er meetellen:
| Wat er staat | Notatie | Welke aantallen tellen mee |
|---|---|---|
| Precies k | P(X = k) | alleen k |
| Hoogstens k, ten hoogste k, niet meer dan k | P(X ≤ k) | 0 tot en met k |
| Minder dan k | P(X < k) | 0 tot en met k − 1 |
| Minstens k, ten minste k, k of meer | P(X ≥ k) | k tot en met n |
| Meer dan k | P(X > k) | k + 1 tot en met n |
| Tussen k en m in | P(k ≤ X ≤ m) | k tot en met m |
Rekenmachines geven meestal alleen de kans op precies k en de kans op hoogstens k. De rest leid je daaruit af met de tegenkans, want alle kansen samen zijn altijd 100%:
Let bij die eerste twee goed op dat ene getal verschil in de aftrekking. Wil je de kans op minstens 3 successen, dan trek je de kans op hoogstens 2 successen van 1 af, niet die op hoogstens 3. Deze tool laat onder de uitkomst zien welke omweg er is genomen, zodat je het in je uitwerking kunt overnemen.
Naast losse kansen zegt de binomiale verdeling ook iets over het geheel. Het verwachte aantal successen, ook wel de verwachtingswaarde genoemd, is simpelweg het aantal pogingen maal de slaagkans:
Hoe ver de uitkomsten daaromheen schommelen, lees je af aan de standaarddeviatie:
Voorbeeld: bij 10 muntworpen is het verwachte aantal keer kop 10 × 0,5 = 5. De standaarddeviatie is de wortel uit 10 × 0,5 × 0,5 = 2,5, dus ongeveer 1,58. Je komt dus meestal ergens tussen de 3 en 7 keer kop uit.
Let op: het verwachte aantal hoeft geen heel getal te zijn. Bij 10 worpen met een dobbelsteen verwacht je 10 ÷ 6 ≈ 1,67 keer een zes, terwijl je natuurlijk nooit 1,67 zessen kunt gooien. Het is een gemiddelde over heel veel herhalingen. Het aantal met de grootste kans, de top van het staafdiagram, ligt daar meestal vlakbij maar is niet altijd hetzelfde getal.
Op een grafische rekenmachine staan twee functies waarmee je hetzelfde uitrekent als hierboven. Ze zitten bij de kansverdelingen:
Deze tool doet hetzelfde, maar dan met alle varianten in één keer en met een tekening erbij, zodat je ook ziet waar je antwoord in de verdeling zit.
Bij weinig pogingen is het staafdiagram grillig, maar bij veel pogingen krijgt het steeds meer de bekende klokvorm. De vuistregel is dat je de binomiale verdeling mag benaderen met een normale verdeling zodra zowel n × p als n × (1 − p) minstens 10 is. Je rekent dan verder met een gemiddelde van n × p en de standaarddeviatie hierboven, bijvoorbeeld via de z-score. Voor de aantallen die deze tool aankan is dat niet nodig: hier krijg je gewoon de exacte kans. Handig is het wel om te weten waarom je in een statistiekboek ineens op de normale verdeling overstapt.
Vul eerst het aantal pogingen in (n): hoe vaak je het probeert, bijvoorbeeld 10 muntworpen of 20 meerkeuzevragen. Zet daarna de kans op succes per poging in procenten: 50 voor kop bij een munt, ongeveer 16,67 voor een zes met een dobbelsteen en 25 voor een gok bij een vraag met vier antwoordmogelijkheden. Kies vervolgens welke kans je wilt: precies, hoogstens, minder dan, minstens, meer dan of tussen twee aantallen in. Vul tot slot het aantal successen in (k); bij de laatste optie vul je twee aantallen in. Decimalen mag je in het kansveld met een komma of een punt schrijven. Je ziet meteen de kans in procenten, hoe die is opgebouwd, het verwachte aantal successen, de standaarddeviatie, het meest waarschijnlijke aantal, een staafdiagram van de hele verdeling en een tabel met de kans op elk aantal apart. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.
Met de formule P(X = k) = "n boven k" × p tot de macht k × (1 − p) tot de macht (n − k). Daarin is n het aantal pogingen, p de slaagkans per poging en k het aantal successen. Bij 10 muntworpen en precies 3 keer kop krijg je 120 × 0,5³ × 0,5⁷ ≈ 0,1172, dus ongeveer 11,72%.
De kans dat het aantal successen X precies gelijk is aan k. De P komt van probability (kans) en de X is het aantal keer dat het lukt. P(X ≤ k) is de kans op hoogstens k successen en P(X ≥ k) de kans op minstens k successen.
Bij "minstens 3" telt 3 zelf mee: je rekent met 3, 4, 5 en zo verder. Bij "meer dan 3" telt 3 niet mee en begin je pas bij 4. Hetzelfde geldt aan de andere kant: bij "hoogstens 3" telt 3 wel mee, bij "minder dan 3" niet. In deze tool kies je de juiste variant in het uitklapmenu, dan gaat het altijd goed.
Via de tegenkans: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Wil je de kans op minstens 3 successen, dan trek je de kans op hoogstens 2 successen van 1 af. Optellen vanaf k tot en met n mag ook en geeft hetzelfde antwoord, maar is veel meer werk. Let op dat ene getal verschil: k − 1, niet k.
Als je situatie aan vier voorwaarden voldoet: een vast aantal pogingen, per poging maar twee uitkomsten (succes of geen succes), steeds dezelfde slaagkans, en pogingen die elkaar niet beïnvloeden. Kaarten trekken zonder terugleggen valt er dus buiten, want dan verandert de kans onderweg.
Het aantal pogingen maal de slaagkans: n × p. Bij 10 muntworpen verwacht je 10 × 0,5 = 5 keer kop. De standaarddeviatie is de wortel uit n × p × (1 − p), in dit geval de wortel uit 2,5, dus ongeveer 1,58. De verwachtingswaarde hoeft geen heel getal te zijn; het is een gemiddelde over veel herhalingen.
binompdf(n, p, k) geeft de kans op precies k successen en binomcdf(n, p, k) de kans op hoogstens k successen, dus alle kansen van 0 tot en met k bij elkaar opgeteld. Je vindt ze op een TI onder 2nd en DISTR. Op een Casio heten ze Bpd en Bcd, in het menu STAT bij DIST en BINM.
Dat is de binomiaalcoëfficiënt, uitgesproken als "n boven k". Het is het aantal verschillende volgordes waarin k successen over n pogingen verdeeld kunnen zijn, en je berekent het met n! ÷ (k! × (n − k)!). Op een rekenmachine heet die knop nCr. Bij 10 pogingen en 3 successen is het 120.
Ja. De berekening draait volledig in je eigen browser; de getallen die je invoert verlaten je apparaat niet en worden nergens opgeslagen.
JaHandig