Bereken gratis en direct een Bayesiaanse kans met de regel van Bayes. Vul drie percentages in en zie meteen de kans op A gegeven B, stap voor stap uitgelegd.
A = wat je wilt weten (bijv. ziek zijn) · B = de aanwijzing die je hebt (bijv. een positieve test)
Een Bayesiaanse kans is een kans die je bijstelt zodra je nieuwe informatie krijgt. Je begint met een voorafkans: hoe waarschijnlijk iets (gebeurtenis A) is voordat je iets extra's weet. Zie je daarna een aanwijzing (gebeurtenis B), zoals een positieve test of een verdacht signaal, dan reken je uit hoe waarschijnlijk A nu is geworden. Die bijgestelde kans heet de achterafkans en je berekent hem met de regel van Bayes, genoemd naar de Engelse wiskundige Thomas Bayes uit de 18e eeuw. In een formule ziet dat er zo uit:
In wiskundeboeken wordt de regel van Bayes geschreven als P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B). De letter P staat voor probability (kans) en de verticale streep | lees je als "gegeven". P(A|B) is dus de kans op A, gegeven dat B is gebeurd. Let op het verschil met P(B|A), de kans op B gegeven A: die twee zijn bijna nooit gelijk, en precies dat verschil maakt deze formule zo belangrijk.
De noemer van de breuk, de totale kans op B, bereken je door twee routes op te tellen: B kan gebeuren terwijl A waar is, maar ook terwijl A niet waar is. Denk aan een test die terecht alarm slaat bij zieke mensen, maar soms ook onterecht bij gezonde mensen:
Deze tool rekent dat automatisch voor je uit; je vindt de totale kans op B in de kaartjes onder de uitkomst.
Stel: 2% van de mensen heeft een bepaalde ziekte (de voorafkans op A). Een test herkent 90% van de zieke mensen (de kans op B als A waar is), maar slaat ook bij 5% van de gezonde mensen aan (de kans op B als A niet waar is). Iemand test positief. Hoe groot is de kans dat deze persoon echt ziek is? Het makkelijkst zie je dat door aan 1.000 mensen te denken:
De kans dat iemand met een positieve test echt ziek is, is dus 18 ÷ 67 ≈ 26,9%. Met de formule kom je op precies hetzelfde uit: (90% × 2%) ÷ (90% × 2% + 5% × 98%) = 1,8% ÷ 6,7% ≈ 26,9%.
De meeste mensen schatten de kans in dit voorbeeld veel te hoog in; "de test klopt toch in 90% van de gevallen?" De denkfout heet base rate neglect: het vergeten van de voorafkans. Omdat maar heel weinig mensen de ziekte hebben, komen de meeste positieve tests van de grote groep gezonde mensen, ook al slaat de test daar maar zelden aan. Hoe zeldzamer iets is, hoe groter dat effect. Daarom is de regel van Bayes zo belangrijk in bijvoorbeeld de geneeskunde, de rechtspraak en bij spamfilters: hij dwingt je om de voorafkans mee te wegen in plaats van alleen naar de betrouwbaarheid van de aanwijzing te kijken.
De Bayes-factor (ook wel likelihood-ratio genoemd) is de kans op B als A waar is, gedeeld door de kans op B als A niet waar is. Dit getal vertelt hoe sterk de aanwijzing is: een Bayes-factor van 18, zoals in het voorbeeld (90% ÷ 5%), betekent dat een positieve test 18 keer waarschijnlijker is bij iemand die ziek is dan bij iemand die gezond is. Hoe hoger de Bayes-factor, hoe meer een aanwijzing je kans omhoog trekt; bij een Bayes-factor van 1 zegt de aanwijzing helemaal niets. Je vindt de Bayes-factor in de kaartjes onder de uitkomst.
Bedenk eerst wat in jouw situatie A en B zijn. A is wat je wilt weten (ziek zijn, een e-mail is spam, het gaat regenen) en B is de aanwijzing die je hebt gezien (een positieve test, het woord "gratis" in de e-mail, donkere wolken). Vul daarna de drie percentages in: de voorafkans op A, de kans op B als A waar is en de kans op B als A niet waar is. Decimalen mag je met een komma of een punt schrijven. De uitkomst verschijnt direct in beeld: de kans op A gegeven B, samen met de totale kans op B, de tegenkansen, de aantallen per 1.000 gevallen en de Bayes-factor. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.
Een formule uit de kansrekening waarmee je een kans bijstelt op basis van nieuwe informatie: P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B). Je vermenigvuldigt de kans op de aanwijzing als A waar is met de voorafkans op A, en deelt door de totale kans op de aanwijzing. De uitkomst is de kans dat A waar is, nu je de aanwijzing hebt gezien.
De kans op A, gegeven dat B is gebeurd. De verticale streep lees je als "gegeven". P(A|B) is iets anders dan P(B|A): de kans dat iemand ziek is gegeven een positieve test, is bijna nooit gelijk aan de kans op een positieve test gegeven dat iemand ziek is. Die twee verwarren is een van de bekendste denkfouten in de kansrekening.
De kans dat A waar is voordat je de aanwijzing hebt gezien, in het Engels de prior. Vaak is dat gewoon hoe vaak iets voorkomt: heeft 2% van de mensen een ziekte, dan is de voorafkans 2%. Na het zien van de aanwijzing stel je die kans bij; de uitkomst heet de achterafkans (posterior).
Omdat de voorafkans meetelt. Is een ziekte zeldzaam, dan komen de meeste positieve tests van de grote groep gezonde mensen, ook al slaat de test daar maar zelden aan. In het voorbeeld op deze pagina (voorafkans 2%, test herkent 90%, vals alarm 5%) is de kans na een positieve test daardoor maar ongeveer 26,9% in plaats van de 90% die veel mensen verwachten.
De kans op de aanwijzing als A waar is, gedeeld door de kans op de aanwijzing als A niet waar is. De Bayes-factor meet hoe sterk de aanwijzing is: bij 18 is de aanwijzing 18 keer waarschijnlijker als A waar is, bij 1 zegt de aanwijzing niets en bij een waarde onder de 1 maakt de aanwijzing A juist minder waarschijnlijk.
Deze tool rekent met percentages: vermenigvuldig een kans tussen 0 en 1 dus met 100. Een kans van 0,25 vul je in als 25 en een kans van 0,02 als 2. Decimalen mag je met een komma of een punt schrijven, dus 2,5 of 2.5.
Ja. De berekening draait volledig in je eigen browser; de percentages die je invoert verlaten je apparaat niet en worden nergens opgeslagen.
JaHandig