Bereken gratis de regressiecoëfficiënt van een reeks punten. Vul je x- en y-waarden in en zie meteen de regressielijn y = ax + b en de correlatiecoëfficiënt r.
Vul per rij de x- en y-waarde van één punt in. Enter springt naar het volgende vakje en met de puntjes versleep je een rij.
De regressiecoëfficiënt is de helling van de regressielijn: de rechte lijn die zo goed mogelijk past bij een verzameling punten (een puntenwolk). Het getal vertelt je hoeveel y gemiddeld verandert als x met 1 toeneemt. Stel je zet studietijd (x) uit tegen toetscijfer (y) en de regressiecoëfficiënt is 0,5: dan levert elk uur extra studeren gemiddeld een half punt hoger cijfer op. De regressielijn schrijf je als y = ax + b, waarin a de regressiecoëfficiënt is en b het snijpunt met de y-as. De lijn wordt zo gekozen dat hij zo dicht mogelijk bij alle punten ligt; dit heet de kleinste-kwadratenmethode. Je berekent de regressiecoëfficiënt met deze formule:
Je berekent dus eerst het gemiddelde van alle x-waarden en van alle y-waarden. Daarna bepaal je per punt de afwijking van x en de afwijking van y ten opzichte van die gemiddelden. Voor de teller vermenigvuldig je die twee afwijkingen per punt met elkaar en tel je alle uitkomsten op; voor de noemer kwadrateer je de x-afwijkingen en tel je die op. In wiskundeboeken wordt de formule vaak korter opgeschreven als a = Σ(x − x)(y − y) ÷ Σ(x − x)2. Daarin staat Σ (spreek uit: sigma) voor "de som van", x (x met een streep) voor het gemiddelde van de x-waarden en y voor het gemiddelde van de y-waarden.
Voorbeeld: neem de punten (1, 2), (2, 4) en (3, 6). De gemiddelden zijn x̄ = 2 en ȳ = 4. De teller is (−1)(−2) + (0)(0) + (1)(2) = 4 en de noemer is 1 + 0 + 1 = 2, dus a = 4 ÷ 2 = 2.
De regressielijn gaat altijd precies door het punt (gemiddelde x, gemiddelde y). Daardoor kun je, zodra je de regressiecoëfficiënt a kent, ook meteen b uitrekenen:
Voorbeeld: met a = 2, gemiddelde x = 2 en gemiddelde y = 4 wordt b dus 4 − 2 × 2 = 0. De regressielijn is dan y = 2x.
We zoeken de regressielijn bij de vijf punten (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4) en (5, 5).
De regressielijn is dus y = 0,6x + 2,2. De lijn gaat niet precies door de punten heen, maar loopt er zo goed mogelijk tussendoor: dat is precies de bedoeling van regressie.
Naast de regressiecoëfficiënt berekent deze tool ook de correlatiecoëfficiënt r. Die meet hoe sterk het lineaire verband tussen x en y is en ligt altijd tussen −1 en 1. Bij r = 1 liggen alle punten precies op een stijgende lijn, bij r = −1 precies op een dalende lijn en bij r = 0 is er geen lineair verband. Hoe dichter r bij 1 of −1 ligt, hoe beter de regressielijn bij de punten past. De formule lijkt op die van de regressiecoëfficiënt, maar heeft een wortel in de noemer:
Het kwadraat van r heet de determinatiecoëfficiënt (r²) en ligt altijd tussen 0 en 1. Dit getal vertelt je welk deel van de verschillen in y wordt "verklaard" door x. In het voorbeeld hierboven is r = 6 ÷ √(10 × 6) = 6 ÷ √60 ≈ 0,77 en r² = 0,6: zo'n 60% van de variatie in de y-waarden hangt samen met x. Wil je vooral weten hoe sterk het verband is, gebruik dan onze correlatiecoëfficiënt berekenen tool.
Beide begrippen gaan over de helling van een rechte lijn, en in de formule y = ax + b is het allebei de letter a. Het verschil zit in de situatie. De richtingscoëfficiënt gebruik je als je een lijn hebt die precies door twee bekende punten gaat: de helling ligt dan exact vast. De regressiecoëfficiënt gebruik je bij een verzameling meetpunten die niet netjes op één lijn liggen, bijvoorbeeld uit een onderzoek of experiment. De regressielijn gaat dan meestal door geen enkel punt precies heen, maar vat de trend van alle punten samen. Vul je in deze tool trouwens maar twee punten in, dan gaat de regressielijn daar wél precies doorheen en is de regressiecoëfficiënt gelijk aan de richtingscoëfficiënt.
Vul per rij één punt in: links de x-waarde en rechts de y-waarde. Decimalen mag je met een komma of een punt schrijven (8,5 of 8.5) en negatieve getallen typ je met een minteken. Met de knop "Punt toevoegen" of de entertoets open je een volgende rij, met het kruisje haal je een rij weg en door een rij aan de puntjes te verslepen verander je de volgorde; voor de uitkomst maakt de volgorde overigens niet uit. Alleen rijen met zowel een x- als een y-waarde tellen mee. Handig om te weten: plak je twee kolommen met getallen (bijv. uit Excel) in een vakje, dan worden ze automatisch als punten over de rijen verdeeld; plak je één kolom, dan wordt alleen die kolom gevuld. De uitkomst verschijnt direct in beeld, samen met de volledige regressielijn y = ax + b, een grafiek met de puntenwolk en de lijn, de gemiddelden, de correlatiecoëfficiënt en de determinatiecoëfficiënt. Elk punt in de grafiek draagt het nummer van zijn rij, zodat je ook bij punten die dicht bij elkaar liggen precies ziet welk punt waar staat. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.
De regressiecoëfficiënt is de helling van de regressielijn, de best passende rechte lijn door een puntenwolk. Het getal geeft aan hoeveel y gemiddeld verandert als x met 1 toeneemt. In de formule y = ax + b van de regressielijn is a de regressiecoëfficiënt.
Bereken eerst het gemiddelde van de x-waarden en van de y-waarden. Vermenigvuldig per punt de x-afwijking met de y-afwijking en tel alles op: dat is de teller. Kwadrateer per punt de x-afwijking en tel op: dat is de noemer. De regressiecoëfficiënt is de teller gedeeld door de noemer. Voor de punten (1, 2), (2, 4) en (3, 6) geeft dat a = 4 ÷ 2 = 2.
Beide zijn de helling van een rechte lijn (de a in y = ax + b). De richtingscoëfficiënt hoort bij een lijn die exact door twee bekende punten gaat. De regressiecoëfficiënt hoort bij de regressielijn: de best passende lijn door een grotere verzameling punten die niet precies op één lijn liggen. Heb je maar twee punten, dan komen beide op hetzelfde getal uit. Zie ook onze richtingscoëfficiënt berekenen tool.
Dat er een dalend verband is: als x groter wordt, wordt y gemiddeld juist kleiner. Bij een regressiecoëfficiënt van −2 daalt y gemiddeld 2 voor elke stap van 1 in x. Denk aan het verband tussen de leeftijd van een auto (x) en zijn waarde (y). Bij een positieve regressiecoëfficiënt stijgt y juist als x toeneemt.
De correlatiecoëfficiënt r meet hoe sterk het lineaire verband is en ligt tussen −1 en 1: hoe dichter bij 1 of −1, hoe strakker de punten rond de regressielijn liggen. Het kwadraat r² (de determinatiecoëfficiënt) vertelt welk deel van de verschillen in y door x wordt verklaard. Een r² van 0,6 betekent bijvoorbeeld dat 60% van de variatie in y samenhangt met x.
Voor de berekening zijn minstens twee punten met verschillende x-waarden nodig; bij twee punten gaat de lijn er precies doorheen. Maar hoe meer punten je invult, hoe beter de regressielijn de echte trend weergeeft. Liggen alle punten recht boven elkaar (alle x-waarden gelijk), dan is de lijn verticaal en bestaat er geen regressiecoëfficiënt.
Ja. De berekening draait volledig in je eigen browser; de punten die je invoert verlaten je apparaat niet en worden nergens opgeslagen.
JaHandig