Bereken gratis en direct het eerste kwartiel (Q1), de mediaan en het derde kwartiel (Q3) van een reeks getallen, met de kwartielafstand, uitschieters en een boxplot.
Enter opent een volgend vakje. Op volgorde zetten hoeft niet: dat doet de tool voor je.
Kwartielen zijn drie getallen die een reeks in vier even grote delen knippen. Zet je alle getallen van klein naar groot, dan ligt een kwart van de getallen onder het eerste kwartiel, de helft onder het tweede kwartiel en driekwart onder het derde kwartiel. Zo zie je in één oogopslag niet alleen waar het midden van je gegevens ligt, maar ook hoe ver ze uit elkaar liggen.
Samen met het laagste en het hoogste getal vormen de kwartielen de vijfgetallensamenvatting: vijf getallen die een hele reeks samenvatten. Precies die vijf getallen tekent de tool hierboven als boxplot.
De manier die in de meeste schoolboeken staat, werkt met halve reeksen. Je hebt er niets anders voor nodig dan de mediaan, die je drie keer bepaalt:
Op welke plaats de mediaan staat, reken je zo uit:
Voorbeeld: je hebt tien rapportcijfers: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9. De mediaan staat op plaats (10 + 1) ÷ 2 = 5,5, dus precies tussen het 5e en het 6e cijfer. Beide zijn een 7, dus Q2 = 7. De onderste helft is 4, 5, 6, 6, 7 en daarvan is de mediaan 6, dus Q1 = 6. De bovenste helft is 7, 7, 8, 8, 9 met mediaan 8, dus Q3 = 8.
Bij een even aantal getallen valt je reeks vanzelf in twee gelijke helften. Bij een oneven aantal ligt er precies één getal in het midden, en dan moet je kiezen wat je daarmee doet. Er zijn twee gangbare afspraken, en ze geven allebei een ander antwoord:
Voorbeeld: neem de reeks 1 tot en met 9. De mediaan is 5. Laat je die weg, dan is de onderste helft 1, 2, 3, 4 met mediaan 2,5, dus Q1 = 2,5. Tel je de mediaan wel mee, dan is de onderste helft 1, 2, 3, 4, 5 met mediaan 3, dus Q1 = 3. Hetzelfde verschil zie je aan de bovenkant: Q3 wordt 7,5 of 7.
Excel en Google Sheets knippen de reeks helemaal niet in helften. Zij rekenen uit op welke plaats in de rij een kwartiel valt en vullen tussen de twee omliggende getallen in. Er zijn twee functies, met elk een eigen plaatsformule. Voor Q1 zien die er zo uit:
Voor Q3 gebruik je dezelfde formules, maar vermenigvuldig je de breuk met 3. De mediaan (Q2) komt bij alle methodes altijd op hetzelfde getal uit; alleen Q1 en Q3 verschillen. Zo pakt Q1 uit bij de reeks 1 tot en met 8 en bij de reeks 1 tot en met 9:
| Methode | Q1 bij 1 tot en met 8 | Q1 bij 1 tot en met 9 |
|---|---|---|
| Twee helften, mediaan telt niet mee | 2,5 | 2,5 |
| Twee helften, mediaan telt wel mee | 2,5 | 3 |
| QUARTILE.INC | 2,75 | 3 |
| QUARTILE.EXC | 2,25 | 2,5 |
In die tabel zie je twee handige regelmatigheden. Bij een even aantal getallen geven de twee schoolmethodes altijd hetzelfde antwoord, want dan hoef je niets met de mediaan te beslissen. En bij een oneven aantal getallen komt de schoolmethode zonder mediaan precies uit op QUARTILE.EXC, terwijl de variant mét mediaan precies gelijk is aan QUARTILE.INC. Welke methode je moet gebruiken, hangt dus af van je boek of je opdracht; in de tool zie je onder de uitkomst alle vier de antwoorden voor jouw eigen reeks naast elkaar.
Het verschil tussen Q3 en Q1 heet de kwartielafstand, ook wel interkwartielafstand of IQR (van het Engelse interquartile range). Daarin ligt precies de middelste helft van je getallen:
De kwartielafstand is een spreidingsmaat, net als het spreidingsbereik en de standaarddeviatie. Het verschil zit in de gevoeligheid voor uitschieters. Het spreidingsbereik kijkt alleen naar het laagste en het hoogste getal, dus één rare meting blaast dat meteen op. De kwartielafstand kijkt alleen naar de middelste helft en trekt zich van de uiteinden weinig aan. Daarom kies je de kwartielafstand als je gegevens scheef verdeeld zijn of losse rare waarden bevatten, bijvoorbeeld bij inkomens, wachttijden of huizenprijzen.
Met de kwartielafstand kun je ook nakijken of er rare waarden in je reeks zitten. De meestgebruikte afspraak trekt een grens op anderhalve kwartielafstand voorbij de box:
Voorbeeld: de reeks 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 100 heeft Q1 = 2,5 en Q3 = 7,5, dus een kwartielafstand van 5. De ondergrens is 2,5 − 1,5 × 5 = −5 en de bovengrens is 7,5 + 1,5 × 5 = 15. Het getal 100 valt daarbuiten en is dus een uitschieter.
Zo'n uitschieter is niet automatisch fout. Soms is het een typefout of een kapotte meting, soms is het gewoon een bijzonder geval dat er echt bij hoort. De regel vertelt je alleen welke getallen het bekijken waard zijn. De tool rekent de twee grenzen voor je uit en zet uitschieters in de boxplot met een afwijkende kleur neer.
De boxplot, ook wel doosdiagram genoemd, is de standaardtekening bij kwartielen. De box loopt van Q1 tot Q3 en bevat dus de middelste helft van je getallen; de breedte van die box is precies de kwartielafstand. De dikke streep erin is de mediaan. Ligt die streep niet in het midden van de box, dan is je verdeling scheef. De lijnen die eruit steken (de snorharen) lopen door tot het laagste en hoogste getal dat nog binnen de grenzen valt, en alles wat daarbuiten ligt tekent de tool als losse gekleurde stip. De rij stipjes onderin laat zien waar al je getallen precies zitten.
Kwartielen zijn gewoon drie vaste percentielen: Q1 is het 25e percentiel, de mediaan is het 50e en Q3 het 75e. Wil je een ander deel weten, bijvoorbeeld het 90e percentiel, gebruik dan de tool voor percentielen. Let wel op de instelling: die tool begint met de rekenwijze van Excel, terwijl deze kwartielentool met de schoolmethode begint. Kies in beide tools dezelfde methode en je krijgt bij Q1, Q2 en Q3 exact dezelfde getallen.
Typ in elk vakje één getal; decimalen mag je met een komma of een punt schrijven (8,5 of 8.5) en negatieve getallen met een minteken. Met de knop "Getal toevoegen" of de entertoets open je een volgend vakje, met het kruisje haal je er een weg. Sorteren hoeft niet, dat doet de tool zelf. Plak je een hele reeks in een vakje, bijvoorbeeld uit Excel, dan worden de getallen automatisch over losse vakjes verdeeld. Kies daarna de methode die bij je opdracht past. Je ziet meteen Q1, de mediaan en Q3, een boxplot, je reeks op volgorde met de twee helften in kleur, de kwartielafstand, de grenzen voor uitschieters en een tabel met de uitkomst van alle vier de methodes. Je hebt minstens twee getallen nodig; voor de exclusieve methode zijn dat er drie. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.
Zet je getallen van klein naar groot en bepaal de mediaan: dat is Q2. Splits de reeks daarna bij die mediaan in een onderste en een bovenste helft. De mediaan van de onderste helft is Q1 en de mediaan van de bovenste helft is Q3. Bij de tien cijfers 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9 levert dat Q1 = 6, Q2 = 7 en Q3 = 8 op.
Dat hangt van de afspraak af, en alleen bij een oneven aantal getallen. In Nederlandse schoolboeken laat je het middelste getal meestal buiten beide helften; in veel Engelstalige boeken telt het juist in allebei mee. Bij de reeks 1 tot en met 9 wordt Q1 daardoor 2,5 of 3. Bij een even aantal getallen speelt de vraag niet, want dan valt de reeks vanzelf in twee gelijke helften.
Het derde kwartiel min het eerste kwartiel, dus Q3 − Q1. In dat gebied ligt de middelste helft van je getallen, en in een boxplot is het precies de breedte van de box. De kwartielafstand heet ook wel interkwartielafstand of IQR. Het is een robuuste spreidingsmaat: een paar extreme waarden veranderen er weinig aan.
Omdat Excel de reeks niet in helften knipt, maar uitrekent op welke plaats in de rij een kwartiel valt en daar tussen twee getallen invult. QUARTILE.INC en QUARTILE.EXC gebruiken elk een andere plaatsformule. Handig om te weten: bij een oneven aantal getallen geeft QUARTILE.EXC precies hetzelfde als de schoolmethode zonder mediaan, en QUARTILE.INC hetzelfde als de variant met mediaan.
Reken de ondergrens uit als Q1 − 1,5 × de kwartielafstand en de bovengrens als Q3 + 1,5 × de kwartielafstand. Elk getal daarbuiten geldt als uitschieter. Bij de reeks 1 tot en met 8 met daarbij 100 zijn de grenzen −5 en 15, dus is 100 een uitschieter. Zo'n getal is niet per se fout: het is een signaal om het even na te kijken.
Kwartielen verdelen je reeks in vier delen, percentielen in honderd. Kwartielen zijn dus gewoon drie bekende percentielen: Q1 is het 25e percentiel, de mediaan het 50e en Q3 het 75e. Wil je bijvoorbeeld het 90e percentiel weten, dan heb je een percentielberekening nodig.
Met twee getallen kun je al kwartielen bepalen, al zegt de uitkomst dan weinig. Met één getal lukt het niet, want dan valt er niets te verdelen. De exclusieve methode van Excel heeft minstens drie getallen nodig, omdat de plaats van Q1 anders nog vóór het eerste getal valt. Voor een zinvolle boxplot wil je er liefst een stuk of tien of meer.
Ja. De berekening draait volledig in je eigen browser; de getallen die je invoert verlaten je apparaat niet en worden nergens opgeslagen.
JaHandig