Bereken gratis de covariantie van twee reeksen getallen. Vul je x- en y-waarden in en zie meteen de covariantie, de correlatiecoëfficiënt en een grafiek.
Heb je maar een deel van de groep gemeten, kies dan steekproef. Heb je iedereen gemeten, kies dan populatie.
Vul per rij de x- en de y-waarde van één meting in. Enter springt naar het volgende vakje en met de puntjes versleep je een rij.
De covariantie is een getal dat aangeeft of twee grootheden samen bewegen. Denk aan het aantal uren dat iemand leert (x) en het cijfer dat diegene haalt (y). Is de covariantie positief, dan horen hoge x-waarden bij hoge y-waarden: wie langer leert, haalt meestal een hoger cijfer. Is de covariantie negatief, dan gaat de een omhoog terwijl de ander omlaag gaat, bijvoorbeeld de leeftijd van een auto en zijn verkoopprijs. Is de covariantie (bijna) 0, dan is er geen lineair verband en zeggen de x-waarden niets over de y-waarden.
Je berekent de covariantie in drie stappen. Bepaal eerst het gemiddelde van alle x-waarden en van alle y-waarden. Kijk daarna per meting hoe ver x en y van hun eigen gemiddelde af liggen en vermenigvuldig die twee afwijkingen met elkaar. Tel al die producten op en deel de som door het aantal metingen min 1. In een formule ziet dat er zo uit:
Daarin staat x (spreek uit: x-streep) voor het gemiddelde van alle x-waarden, y voor het gemiddelde van alle y-waarden en n voor het aantal metingen. In wiskundeboeken zie je vaak de kortere notatie met Σ (spreek uit: sigma), het teken voor "de som van". De covariantie van een steekproef krijgt meestal het symbool sxy, die van een hele populatie het symbool σxy.
Voorbeeld: neem de punten (1, 2), (2, 4) en (3, 6). De gemiddelden zijn x̄ = 2 en ȳ = 4. De producten van de afwijkingen zijn (−1)(−2) = 2, (0)(0) = 0 en (1)(2) = 2, samen 4. De covariantie van deze steekproef is 4 ÷ (3 − 1) = 2.
De truc zit in het teken van het product. Ligt een punt bij x én bij y boven het gemiddelde, dan zijn beide afwijkingen positief en is hun product ook positief. Ligt een punt bij allebei onder het gemiddelde, dan zijn beide afwijkingen negatief en is het product opnieuw positief, want min keer min is plus. Alleen bij punten die op de ene grootheid boven het gemiddelde liggen en op de andere eronder, komt er een negatief product uit. Tel je alles op, dan wint het teken dat het vaakst en het sterkst voorkomt. Daarom is de grafiek in deze tool met twee stippellijnen in vier vlakken verdeeld: je ziet meteen welke punten de covariantie omhoog duwen en welke hem omlaag halen.
Er zijn twee versies van dezelfde formule, en ze verschillen alleen in de noemer:
Delen door n − 1 in plaats van door n heet de correctie van Bessel. Die is nodig omdat je de gemiddelden uit je eigen steekproef hebt geschat: de metingen liggen daardoor net iets dichter bij hun eigen gemiddelden dan bij de echte gemiddelden van de populatie. Zonder correctie zou je de samenhang stelselmatig te klein schatten. Bij veel metingen is het verschil klein (bij n = 100 scheelt het 1%), maar bij weinig metingen telt het flink mee. Twijfel je? Kies dan steekproef. Deze tool laat de andere variant altijd in een apart kaartje zien, zodat je ze naast elkaar hebt.
We berekenen de covariantie van vijf metingen: (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4) en (5, 5).
Ging het om de hele populatie, dan had je in de laatste stap door 5 gedeeld en was de uitkomst 1,2. Vul dit voorbeeld in de rekenmachine hierboven in, dan zie je precies dezelfde tussenstappen terug in de tabel onder de grafiek.
Bij de covariantie draait alles om het teken. Positief betekent dat de twee grootheden dezelfde kant op bewegen, negatief dat ze tegengesteld bewegen. De grootte van het getal is veel lastiger te duiden, want die hangt volledig af van de eenheden waarin je meet. Meet je lengte in centimeters in plaats van meters, dan wordt de covariantie honderd keer zo groot, terwijl er aan het verband natuurlijk niets is veranderd. Een covariantie van 250 is dus niet automatisch "sterker" dan een van 3.
Daar komt bij dat de covariantie geen vaste boven- of ondergrens heeft: hij kan elk getal aannemen. Wil je weten hoe sterk het verband is, dan heb je een maat nodig die niet van de eenheden afhangt. Die bestaat, en heet de correlatiecoëfficiënt.
De correlatiecoëfficiënt is niets anders dan de covariantie die is gedeeld door de twee standaarddeviaties. Daarmee vallen de eenheden tegen elkaar weg en blijft er een kaal getal tussen −1 en 1 over:
Daarin zijn sx en sy de standaarddeviaties van x en van y. Covariantie en correlatie hebben dus altijd hetzelfde teken en vertellen hetzelfde verhaal over de richting. Het verschil zit in de schaal: de covariantie houdt de eenheden vast en is daardoor onbegrensd, de correlatie is gestandaardiseerd en ligt altijd tussen −1 en 1. In het voorbeeld hierboven hoort bij een covariantie van 1,5 een correlatiecoëfficiënt van ongeveer 0,77, en dat noem je een sterk verband. Deze tool berekent r er daarom automatisch bij.
De variantie is eigenlijk een covariantie van een reeks met zichzelf. Vul je namelijk overal y = x in, dan wordt (x − x̄) × (y − ȳ) gewoon (x − x̄)2, en dat is precies de formule van de variantie. Vandaar de naam: co-variantie is "samen variëren". Handig om te onthouden bij een tentamen: ken je de variantie, dan ken je de covariantie ook al half.
Deze twee vormen samen de covariantiematrix, een tabel waarin op de diagonaal de varianties staan en daarbuiten de covarianties tussen elk paar grootheden. Die matrix is de basis van technieken als hoofdcomponentenanalyse (PCA) en van portefeuilletheorie bij beleggen.
Een positieve covariantie bewijst niet dat x de oorzaak van y is. Het klassieke voorbeeld: op dagen dat er veel ijs wordt verkocht, verdrinken er ook meer mensen. De covariantie tussen ijsverkoop en verdrinkingen is duidelijk positief, maar ijs eten veroorzaakt geen verdrinkingen. Beide worden veroorzaakt door iets anders, namelijk warm weer. Zo'n verborgen factor heet een derde variabele. Een covariantie is dus een aanwijzing dat er iets aan de hand kan zijn, geen bewijs van oorzaak en gevolg.
Wil je je uitkomst met een ander hulpmiddel controleren, dan kan dat zo:
Kies bovenaan of je gegevens een steekproef of een hele populatie zijn. Vul daarna per rij één meting in: links de x-waarde en rechts de y-waarde. Decimalen mag je met een komma of een punt schrijven (8,5 of 8.5) en negatieve getallen typ je met een minteken. Met de knop "Punt toevoegen" of de entertoets open je een volgende rij, met het kruisje haal je een rij weg en door een rij aan de puntjes te verslepen verander je de volgorde; voor de uitkomst maakt de volgorde niet uit. Alleen rijen met zowel een x- als een y-waarde tellen mee. Plak je twee kolommen met getallen uit Excel in een vakje, dan worden ze automatisch als punten over de rijen verdeeld; plak je één kolom, dan wordt alleen die kolom gevuld. Je ziet meteen de covariantie, een uitleg in gewone taal, een grafiek met de vier vlakken rond de gemiddelden, de kentallen en een tabel waarin stap voor stap staat hoe de som van de producten is opgebouwd. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.
De covariantie is een getal dat aangeeft of twee grootheden samen bewegen. Positief betekent dat hoge x-waarden bij hoge y-waarden horen, negatief dat hoge x-waarden bij lage y-waarden horen, en ongeveer 0 betekent dat er geen lineair verband is. Je berekent hem door per meting de afwijking van x en de afwijking van y ten opzichte van hun gemiddelden te vermenigvuldigen, die producten op te tellen en de som te delen door n − 1.
Bereken eerst het gemiddelde van de x-waarden en van de y-waarden. Bepaal daarna per meting hoeveel x en y van hun eigen gemiddelde afwijken en vermenigvuldig die twee afwijkingen. Tel alle producten op en deel door n − 1 bij een steekproef of door n bij een hele populatie. Voor de punten (1, 2), (2, 4) en (3, 6) is de som van de producten 4, dus de covariantie van de steekproef is 4 ÷ 2 = 2.
Ze vertellen hetzelfde over de richting van het verband en hebben altijd hetzelfde teken, maar niet over de sterkte. De covariantie houdt de eenheden van je metingen vast en kan daardoor elk getal zijn. De correlatiecoëfficiënt is de covariantie gedeeld door de twee standaarddeviaties, waardoor de eenheden wegvallen en de uitkomst altijd tussen −1 en 1 ligt. Voor het beoordelen van de sterkte gebruik je daarom de correlatiecoëfficiënt.
Door n − 1 als je gegevens een steekproef zijn en je iets wilt zeggen over een grotere groep; dat is de standaard in Excel, SPSS en op school. Door n alleen als je echt de hele populatie hebt gemeten. Delen door n − 1 heet de correctie van Bessel en voorkomt dat je de samenhang stelselmatig te klein schat. Bij veel metingen scheelt het weinig, bij weinig metingen juist veel.
Dat de twee grootheden tegengesteld bewegen: als x groter wordt, wordt y gemiddeld kleiner. Denk aan de leeftijd van een auto en zijn verkoopprijs. Het minteken zegt alleen iets over de richting; hoe sterk dat verband is, lees je af aan de correlatiecoëfficiënt.
Dat er geen lineair verband is: hoge x-waarden gaan niet stelselmatig samen met hoge of met lage y-waarden. Let op dat dit niet betekent dat er helemaal geen verband is. Punten die netjes op een parabool liggen kunnen een covariantie van 0 hebben, terwijl het verband perfect is. Bekijk daarom altijd ook de grafiek.
Ja, de covariantie heeft geen boven- of ondergrens en kan elk getal aannemen. Dat komt doordat hij de eenheden van je metingen meeneemt: reken je van meters naar centimeters om, dan wordt de covariantie honderd keer zo groot terwijl het verband hetzelfde blijft. Alleen de correlatiecoëfficiënt ligt altijd tussen −1 en 1.
Voor de berekening zijn twee punten genoeg, maar daar valt weinig uit te leren: door twee punten past altijd precies één rechte lijn. Pas met meer metingen zegt de uitkomst echt iets, en hoe meer meetpunten je hebt, hoe betrouwbaarder het beeld.
Ja. De berekening draait volledig in je eigen browser; de getallen die je invoert verlaten je apparaat niet en worden nergens opgeslagen.
JaHandig