Bereken gratis de rangcorrelatie van Spearman (rs). Vul je x- en y-waarden in en zie meteen de rangnummers, de som van d², de uitkomst en een grafiek.
Vul per rij de x- en de y-waarde van één meting in. Enter springt naar het volgende vakje en met de puntjes versleep je een rij.
De Spearman correlatie (symbool rs, ook wel geschreven als de Griekse letter ρ, spreek uit: rho) is een getal tussen −1 en 1 dat aangeeft in hoeverre twee grootheden dezelfde volgorde aanhouden. De volledige naam is rangcorrelatiecoëfficiënt van Spearman, en die naam verklapt meteen de truc: je rekent niet met de gemeten waarden zelf, maar met hun rangnummers. De kleinste waarde krijgt rang 1, de op één na kleinste rang 2, enzovoort. Daarna bereken je gewoon de correlatiecoëfficiënt tussen die twee rijen rangnummers.
Bij rs = 1 zetten x en y de metingen in precies dezelfde volgorde: wie op x de hoogste score heeft, heeft dat op y ook. Bij rs = −1 is de volgorde precies omgekeerd. Bij rs = 0 zegt de volgorde van x niets over de volgorde van y. Zolang er geen twee waarden precies gelijk zijn, kun je rs met deze korte formule uitrekenen:
Daarin is d het verschil tussen de twee rangnummers van één meting (rang x min rang y) en is n het aantal metingen. Je kwadrateert elk verschil, telt die kwadraten op en vult ze in. In wiskundeboeken zie je vaak de kortere notatie met Σ (spreek uit: sigma), het teken voor "de som van". Het getal 6 in de teller ziet er willekeurig uit, maar dat is het niet: precies dat getal zorgt ervoor dat de uitkomst netjes tussen −1 en 1 blijft.
Voorbeeld: drie metingen waarbij x en y allebei oplopen, bijvoorbeeld (1, 10), (2, 20) en (3, 30). De rangen zijn 1, 2 en 3 voor allebei, dus alle d's zijn 0 en de som van d² is 0. Dan is rs = 1 − 0 = 1: een perfect stijgend verband.
Een rangnummer is niets anders dan de plaats van een waarde in de rij van klein naar groot. Neem de cijfers 4,5 6,0 5,5 8,0 7,5. Van klein naar groot is dat 4,5 5,5 6,0 7,5 8,0, dus 4,5 krijgt rang 1, 5,5 krijgt rang 2, 6,0 krijgt rang 3, 7,5 krijgt rang 4 en 8,0 krijgt rang 5. Terug in de oorspronkelijke volgorde worden de rangnummers dan 1, 3, 2, 5, 4.
Door die stap naar rangnummers verdwijnt de afstand tussen de waarden uit beeld. Of het hoogste cijfer nu een 8 of een 9,9 is, het blijft rang 5. Dat klinkt als informatieverlies, en dat is het ook, maar het is precies waarom Spearman zo bruikbaar is: uitschieters kunnen de uitkomst niet meer kapen, en een verband dat wel stelselmatig stijgt maar niet langs een rechte lijn loopt, wordt toch als sterk herkend.
Vijf leerlingen houden bij hoeveel uur ze voor een toets leren (x) en welk cijfer ze halen (y).
| Leerling | Uren (x) | Cijfer (y) | Rang x | Rang y | d | d² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4,5 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 2 | 4 | 6,0 | 2 | 3 | −1 | 1 |
| 3 | 5 | 5,5 | 3 | 2 | 1 | 1 |
| 4 | 7 | 8,0 | 4 | 5 | −1 | 1 |
| 5 | 9 | 7,5 | 5 | 4 | 1 | 1 |
Een rs van 0,8 betekent een zeer sterk stijgend verband: wie meer uren leert, haalt vrijwel altijd een hoger cijfer. Alleen leerling 2 en 3 en leerling 4 en 5 staan onderling omgedraaid, en dat kost precies die 0,2. Ter vergelijking: de gewone correlatiecoëfficiënt van Pearson komt bij deze getallen op ongeveer 0,89 uit. Vul het voorbeeld in de rekenmachine hierboven in, dan zie je allebei de uitkomsten naast elkaar staan.
Het teken van rs geeft de richting aan: positief betekent dat een hoge x bij een hoge y hoort, negatief dat een hoge x bij een lage y hoort. De grootte geeft de sterkte aan. Als vuistregel wordt vaak deze indeling gebruikt:
Hierbij staat |rs| voor de absolute waarde, dus het getal zonder minteken. Let op dat dit een vuistregel is en geen harde wet: in de psychologie geldt 0,4 al snel als een stevig verband, terwijl in de natuurkunde 0,7 juist laag is. En net als bij Pearson geldt: samenhang is geen oorzakelijk verband. Dat er meer ijs wordt verkocht op dagen dat er meer mensen verdrinken, komt niet door het ijs maar door het warme weer.
Belangrijk verschil met Pearson: rs = 1 betekent niet dat de punten op een rechte lijn liggen, maar dat y altijd meestijgt als x stijgt. Dat heet een monotoon verband. De punten (1, 1), (2, 4), (3, 9) en (4, 16) liggen op een kromme, en toch is rs hier precies 1, want de volgordes zijn identiek.
Wat als twee metingen precies dezelfde waarde hebben? Dan is er geen reden om de een voor de ander te zetten, en krijgen ze samen het gemiddelde van de rangen die ze bezetten. Bij de waarden 3, 5, 5 en 8 bezetten de twee vijven de rangen 2 en 3, dus krijgen ze allebei rang 2,5. De rangen worden 1 2,5 2,5 4. Zo'n gedeelde rang heet in statistiekboeken een knoop of een tie.
Er is wel een addertje. De korte formule met d² klopt alleen als elke waarde een eigen rang heeft. Zodra er rangen gedeeld worden, geeft die formule een iets te hoge of te lage uitkomst. De oplossing is simpel: bereken dan gewoon de correlatiecoëfficiënt van Pearson tussen de twee kolommen rangnummers. Dat is namelijk de eigenlijke definitie van Spearman; de d²-formule is slechts een handige verkorting daarvan. Deze tool doet dat automatisch en laat de uitkomst van de korte formule er als kaartje naast zien, zodat je het verschil ziet. Ook SPSS, R en de Excel-aanpak verderop op deze pagina rekenen op die manier.
Allebei de maten lopen van −1 tot 1 en allebei zeggen ze iets over samenhang, maar ze meten niet hetzelfde. Kies bewust:
Een sprekend voorbeeld: neem de punten (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) en (5, 100). Bij Pearson trekt die 100 de hele berekening naar zich toe. Bij Spearman is die 100 gewoon rang 5, precies zoals een 6 dat geweest zou zijn, en komt er netjes rs = 1 uit. Twijfel je? Reken ze allebei uit. Liggen ze dicht bij elkaar, dan maakt de keuze weinig uit. Verschillen ze flink, dan zegt dat iets over de vorm van je gegevens en is dat op zichzelf al nuttige informatie.
Er is nog een tweede rangcorrelatie: Kendall tau. Die vergelijkt niet de rangnummers maar alle paren metingen twee aan twee, en telt hoe vaak x en y het eens zijn over welke van de twee hoger ligt. Beide maten geven hetzelfde teken en vertellen hetzelfde verhaal, maar tau valt bij dezelfde gegevens meestal een stuk lager uit: waar Spearman op 0,8 komt, zit tau vaak rond de 0,6. Vergelijk die twee getallen dus nooit rechtstreeks met elkaar.
Spearman is verreweg het bekendst en wordt op school en in scripties het meest gevraagd. Kendall tau is wat stabieler bij kleine groepen en bij veel gedeelde rangen, en heeft een uitleg die je in gewone taal kunt navertellen. Wordt er niets voorgeschreven, dan is Spearman de veilige standaardkeuze.
Een rs van 0,8 bij vijf metingen kan ook toeval zijn. Wil je weten of het verband sterk genoeg is om serieus te nemen, dan reken je rs om naar een t-waarde en zoek je daar de p-waarde bij:
Het aantal vrijheidsgraden is n − 2. Deze tool rekent die t-waarde automatisch uit en zet hem in een kaartje; met de p-waarde-tool zoek je er vervolgens de p-waarde bij (kies de t-verdeling en vul n − 2 als vrijheidsgraden in). Is de p-waarde kleiner dan 0,05, dan noem je het verband significant. Deze omrekening is een benadering die pas goed werkt vanaf ongeveer tien metingen; heb je er minder, gebruik dan een exacte tabel met kritieke waarden voor Spearman.
Wil je je uitkomst met een ander hulpmiddel controleren, dan kan dat zo:
Vul per rij één meting in: links de x-waarde en rechts de y-waarde. Decimalen mag je met een komma of een punt schrijven (8,5 of 8.5) en negatieve getallen typ je met een minteken. Met de knop "Punt toevoegen" of de entertoets open je een volgende rij, met het kruisje haal je een rij weg en door een rij aan de puntjes te verslepen verander je de volgorde; voor de uitkomst maakt de volgorde niet uit. Alleen rijen met zowel een x- als een y-waarde tellen mee. Plak je twee kolommen met getallen uit Excel in een vakje, dan worden ze automatisch als punten over de rijen verdeeld; plak je één kolom, dan wordt alleen die kolom gevuld. Je hoeft de rangnummers dus niet zelf te bepalen: de tool doet dat voor je, inclusief het delen van rangen bij gelijke waarden. Je ziet meteen rs, een uitleg in gewone taal, een grafiek van de rangnummers met de diagonaal waar d = 0, de kentallen en een tabel waarin stap voor stap staat hoe de som van d² is opgebouwd. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.
De Spearman correlatie (rs of ρ) is een getal tussen −1 en 1 dat aangeeft in hoeverre twee grootheden dezelfde volgorde aanhouden. Je vervangt eerst elke waarde door zijn rangnummer (de plaats in de rij van klein naar groot) en berekent daarna de correlatie tussen die rangnummers. Bij 1 is de volgorde precies gelijk, bij −1 precies omgekeerd en bij 0 zegt de volgorde van x niets over die van y.
Geef de x-waarden een rangnummer van klein naar groot en doe hetzelfde met de y-waarden. Trek per meting rang y van rang x af, dat is d. Kwadrateer die verschillen en tel ze op. Vul dan in: rs = 1 − (6 × som van d²) ÷ (n × (n² − 1)). Bij vijf metingen met een som van d² van 4 wordt dat 1 − 24 ÷ 120 = 0,8.
Pearson meet hoe goed de punten op een rechte lijn liggen en rekent met de waarden zelf. Spearman meet of y stelselmatig meestijgt of meedaalt met x en rekent met de rangnummers. Daardoor is Spearman ongevoelig voor uitschieters en herkent hij ook een krom maar stijgend verband als sterk. Voor rangordes, cijfers van 1 tot 5 en scheve gegevens is Spearman de betere keuze.
Waarden die precies gelijk zijn, delen een rang: ze krijgen samen het gemiddelde van de rangen die ze bezetten. Bij 3, 5, 5 en 8 worden de rangen 1, 2,5, 2,5 en 4. Zo'n gedeelde rang heet een knoop. De korte formule met d² klopt dan niet meer precies; bereken in dat geval de correlatie van Pearson tussen de twee kolommen rangnummers. Deze tool doet dat automatisch.
Dat de twee volgordes tegen elkaar in lopen: wie hoog scoort op x, scoort meestal juist laag op y. Denk aan de leeftijd van een auto en zijn verkoopprijs. Het minteken zegt alleen iets over de richting; de sterkte lees je af aan hoe dicht rs bij −1 ligt.
Allebei zijn het rangcorrelaties met dezelfde richting en hetzelfde teken. Spearman rekent met de rangnummers en de verschillen daartussen, Kendall tau vergelijkt alle paren metingen twee aan twee. Tau valt bij dezelfde gegevens meestal lager uit dan rs, dus je mag de twee getallen niet rechtstreeks met elkaar vergelijken. Spearman wordt het meest gebruikt, Kendall tau is stabieler bij kleine groepen en veel gedeelde rangen.
Voor de berekening zijn twee metingen genoeg, maar daar leer je niets van: bij twee punten komt er altijd 1 of −1 uit. Voor een uitkomst die echt iets zegt heb je er liefst minstens tien. Ook de omrekening naar een t-waarde om te toetsen op significantie is pas vanaf ongeveer tien metingen betrouwbaar.
Ja. De berekening draait volledig in je eigen browser; de getallen die je invoert verlaten je apparaat niet en worden nergens opgeslagen.
JaHandig