Kendall tau berekenen

Wat is Kendall tau?

Kendall tau (symbool τ, spreek uit: tau) is een getal tussen −1 en 1 dat aangeeft hoe vaak twee grootheden het eens zijn over de volgorde. De maat werkt met een verrassend eenvoudige vraag. Pak twee metingen. Ligt de meting die op x hoger scoort, ook op y hoger? Dan zijn x en y het over dat tweetal eens en heet het paar concordant. Ligt hij op y juist lager, dan spreken ze elkaar tegen en heet het paar discordant. Tau doet dat voor alle mogelijke paren en kijkt daarna welke groep wint:

Daarin is C het aantal concordante paren en D het aantal discordante paren. Het aantal paren dat je kunt maken uit n metingen is n × (n − 1) ÷ 2: bij 5 metingen zijn dat er 10, bij 10 metingen 45. Zijn alle paren concordant, dan is τ = 1. Zijn ze allemaal discordant, dan is τ = −1. Houden ze elkaar in evenwicht, dan is τ = 0. Je kunt tau dus lezen als een score in een wedstrijd: het verschil tussen "eens" en "oneens", gedeeld door het aantal keren dat er gestemd is.

Net als de Spearman correlatie is Kendall tau een rangcorrelatie: alleen de volgorde telt, niet hoe groot de verschillen tussen de waarden zijn. Daardoor kan een enkele uitschieter de uitkomst niet kapen en wordt ook een krom maar stelselmatig stijgend verband als sterk herkend.

Concordant en discordant: hoe herken je ze?

Zet twee metingen naast elkaar en kijk naar de richting van allebei de stappen:

• Concordant. x gaat omhoog en y gaat ook omhoog (of allebei omlaag). De twee zijn het eens. Voorbeeld: (2, 4,5) en (7, 8,0), want 7 is groter dan 2 en 8,0 is groter dan 4,5.
• Discordant. x gaat omhoog terwijl y omlaag gaat, of andersom. De twee spreken elkaar tegen. Voorbeeld: (4, 6,0) en (5, 5,5), want 5 is groter dan 4 maar 5,5 is kleiner dan 6,0.
• Gelijk (een knoop). De twee metingen hebben dezelfde x-waarde of dezelfde y-waarde. Dan valt er geen richting af te lezen en telt het paar noch als concordant, noch als discordant.

Een handige werkwijze: zet je metingen eerst op volgorde van x, van klein naar groot. Dan gaat x automatisch omhoog als je naar beneden leest, en hoef je per paar alleen nog naar y te kijken. Staat de y eronder hoger, dan is het paar concordant; staat hij lager, dan is het discordant. Precies zo staat de tabel onder de rekenmachine opgebouwd.

Voorbeeld: stap voor stap

Vijf leerlingen houden bij hoeveel uur ze voor een toets leren (x) en welk cijfer ze halen (y). De metingen staan al op volgorde van x.

1. Zet de metingen op volgorde van x. Hier stonden ze al goed: 2, 4, 5, 7 en 9 uur.
2. Tel per regel de regels eronder met een hoger cijfer. Bij leerling 1 (cijfer 4,5) zijn dat er vier: 6,0  5,5  8,0 en 7,5 liggen allemaal hoger. Vier concordante paren dus, en nul discordante.
3. Doe dat voor elke regel. Bij leerling 2 (cijfer 6,0) liggen 8,0 en 7,5 hoger maar 5,5 lager: 2 concordant en 1 discordant. Bij leerling 3 liggen 8,0 en 7,5 allebei hoger: 2 concordant. Bij leerling 4 ligt 7,5 lager: 1 discordant. Onder leerling 5 staat niets meer.
4. Tel de kolommen op. C = 4 + 2 + 2 + 0 + 0 = 8 en D = 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 2. Samen 10, precies het aantal paren dat je uit 5 metingen kunt maken.
5. Vul de formule in. τ = (8 − 2) ÷ 10 = 0,6.

Een tau van 0,6 betekent een sterk stijgend verband: bij 8 van de 10 vergelijkingen hoort meer leren ook bij een hoger cijfer. Ter vergelijking: bij dezelfde getallen komt Spearman op 0,8 uit en Pearson op ongeveer 0,89. Vul het voorbeeld in de rekenmachine hierboven in, dan zie je dezelfde tellingen terug in de tabel en in de balk met alle paren.

Hoe interpreteer je tau?

Het teken geeft de richting aan: positief betekent dat een hoge x meestal bij een hoge y hoort, negatief dat een hoge x bij een lage y hoort. Voor de sterkte wordt vaak dezelfde vuistregel gebruikt als bij de correlatiecoëfficiënt:

• |τ| = 1: perfect verband, alle paren zijn het eens (of juist allemaal oneens)
• 0,8 ≤ |τ| < 1: zeer sterk verband
• 0,6 ≤ |τ| < 0,8: sterk verband
• 0,4 ≤ |τ| < 0,6: matig verband
• 0,2 ≤ |τ| < 0,4: zwak verband
• |τ| < 0,2: zeer zwak of geen verband

Er is wel een belangrijke kanttekening. Tau valt bij dezelfde gegevens systematisch lager uit dan Pearson of Spearman: waar Spearman op 0,8 komt, zit tau vaak rond de 0,6. Leg je die vuistregel dus te streng aan, dan onderschat je de samenhang. Tau heeft daarentegen een uitleg die de andere twee missen: τ = 0,6 betekent letterlijk dat er 60 procentpunt meer concordante dan discordante paren zijn. Bij τ = 0,6 is dus 80% van de paren het eens en 20% oneens.

En zoals altijd bij samenhang: een hoge tau bewijst geen oorzakelijk verband. Op dagen dat er veel ijs wordt verkocht, verdrinken er ook meer mensen, maar de gemeenschappelijke oorzaak is het warme weer. Zo'n verborgen factor heet een derde variabele.

Gelijke waarden: tau-a, tau-b en tau-c

Zodra twee metingen dezelfde x- of dezelfde y-waarde hebben, valt er voor dat paar geen richting af te lezen. Zulke paren heten knopen (in het Engels ties) en tellen noch als concordant, noch als discordant. Daar zijn drie varianten van tau voor:

• Tau-a deelt gewoon door alle paren. Zitten er knopen in je gegevens, dan kan tau-a daardoor nooit meer 1 of −1 worden, zelfs niet bij een perfect verband.
• Tau-b haalt de knopen eerst uit de noemer en kan wel gewoon de 1 of de −1 halen. Dit is de standaardvariant in SPSS, R en vrijwel alle statistiekboeken, en het getal dat deze tool bovenaan laat zien.
• Tau-c (ook wel Stuarts tau-c) is bedoeld voor kruistabellen waarin het aantal rijen en kolommen verschilt, bijvoorbeeld een oordeel van 1 tot 3 tegenover een oordeel van 1 tot 5. Voor gewone meetreeksen heb je hem niet nodig.

Zonder knopen zijn tau-a en tau-b exact aan elkaar gelijk, en dan maakt de keuze dus niets uit. De formule voor tau-b ziet er zo uit:

Daarin is P het totale aantal paren, T_x het aantal paren met dezelfde x-waarde en T_y het aantal paren met dezelfde y-waarde. Je haalt de knopen dus uit de noemer, maar wel apart voor x en voor y, en neemt daarvan de wortel om die twee weer bij elkaar te brengen. Deze tool telt de knopen automatisch en laat in de balk onder de grafiek zien hoeveel paren er niet meetellen.

Kendall tau, Spearman of Pearson?

Alle drie geven ze een getal tussen −1 en 1, maar ze beantwoorden een andere vraag:

• Pearson (r): hoe goed liggen de punten op een rechte lijn? Rekent met de waarden zelf, dus uitschieters tellen zwaar mee. Kies deze bij echte meetwaarden zonder rare uitschieters.
• Spearman (r_s): houden x en y dezelfde volgorde aan? Rekent met rangnummers. Het meest gebruikt van de twee rangcorrelaties en meestal wat hoger dan tau.
• Kendall tau (τ): hoe vaak zijn x en y het eens over welke van twee metingen hoger ligt? Rekent met paren. Stabieler bij kleine groepen en bij veel gelijke waarden, en het makkelijkst uit te leggen.

In de praktijk wijzen Spearman en Kendall bijna altijd dezelfde kant op en leiden ze tot dezelfde conclusie. Kendall tau heeft de voorkeur bij kleine steekproeven, bij veel knopen en wanneer je een uitkomst wilt die je in gewone taal kunt navertellen. Wordt er in je opdracht niets voorgeschreven, dan is Spearman de gebruikelijkere keuze. Vergelijk de twee getallen alleen nooit rechtstreeks: dezelfde gegevens leveren nu eenmaal een lagere tau op.

Is de uitkomst significant?

Een tau van 0,6 bij vijf metingen kan ook toeval zijn. Om te toetsen of het verband sterk genoeg is om serieus te nemen, reken je het verschil tussen C en D om naar een z-waarde:

Die z-waarde vergelijk je met de standaardnormale verdeling; bij tweezijdig toetsen op 5% is de grens 1,96. In het voorbeeld hierboven is z = 6 ÷ √(5 × 4 × 15 ÷ 18) ≈ 6 ÷ 4,08 ≈ 1,47, en dat is dus niet significant: met vijf leerlingen kun je zo'n verband nog niet hard maken. Deze tool rekent de z-waarde automatisch uit; met de p-waarde-tool zoek je er de bijbehorende p-waarde bij (kies de z-verdeling). De benadering werkt pas goed vanaf ongeveer tien metingen, en bij heel veel knopen is ze niet meer dan een ruwe schatting.

Kendall tau in Excel, SPSS en R

Wil je je uitkomst met een ander hulpmiddel controleren, dan kan dat zo:

• Excel. Er is geen ingebouwde functie voor Kendall tau. Je kunt de paren wel met de hand tellen zoals in het voorbeeld hierboven, of de gegevens naar een van de onderstaande programma's kopiëren.
• SPSS. Ga naar Analyze, dan Correlate en dan Bivariate, en vink daar Kendall's tau-b aan. SPSS geeft standaard tau-b, dus dezelfde variant als deze tool.
• R. Eén regel volstaat: cor(x, y, method = "kendall"). Wil je er meteen een p-waarde bij, gebruik dan cor.test(x, y, method = "kendall").
• Python. Met SciPy: from scipy.stats import kendalltau, en daarna kendalltau(x, y). Ook die functie geeft tau-b.

Zo gebruik je deze rekenmachine

Vul per rij één meting in: links de x-waarde en rechts de y-waarde. Decimalen mag je met een komma of een punt schrijven (8,5 of 8.5) en negatieve getallen typ je met een minteken. Met de knop "Punt toevoegen" of de entertoets open je een volgende rij, met het kruisje haal je een rij weg en door een rij aan de puntjes te verslepen verander je de volgorde; voor de uitkomst maakt de volgorde niet uit, want de tool sorteert zelf op x. Alleen rijen met zowel een x- als een y-waarde tellen mee. Plak je twee kolommen met getallen uit Excel in een vakje, dan worden ze automatisch als punten over de rijen verdeeld; plak je één kolom, dan wordt alleen die kolom gevuld. Je ziet meteen tau-b, een uitleg in gewone taal, een grafiek waarin stijgende lijnstukken bij concordante paren horen, een balk met de verdeling van alle paren, de kentallen en een tabel waarin per meting staat hoeveel paren concordant, discordant of gelijk zijn. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.

Veelgestelde vragen