Bereken gratis en direct een Poisson-kans. Vul het gemiddelde aantal per periode in en zie de kans op precies, hoogstens of minstens zoveel.
De Poisson-verdeling geeft de kans op een bepaald aantal gebeurtenissen in een vaste periode, als je alleen weet hoeveel er gemiddeld gebeuren. Denk aan het aantal klanten dat per uur een winkel binnenloopt, het aantal storingen per maand, het aantal e-mails per dag of het aantal auto's dat per minuut een kruispunt passeert. Je telt dus losse voorvallen die op willekeurige momenten plaatsvinden.
Het bijzondere is dat je maar één getal nodig hebt: het gemiddelde. Dat gemiddelde heet lambda en wordt geschreven als λ. Bij een bakker die gemiddeld 4 taarten per uur verkoopt, is λ = 4. Met alleen dat getal ligt de hele kansverdeling vast:
Daarin is λ het gemiddelde aantal gebeurtenissen per periode en k het aantal waar je naar vraagt. P(X = k) lees je als: de kans dat het aantal gebeurtenissen X precies gelijk is aan k. Het uitroepteken achter de k betekent faculteit: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Verder is 0! gelijk aan 1.
Anders dan bij de binomiale verdeling is er geen bovengrens. Bij tien muntworpen kun je nooit meer dan tien keer kop gooien, maar er kunnen in principe altijd meer klanten binnenkomen dan verwacht. De kans daarop wordt alleen razendsnel kleiner.
De e is het getal van Euler, ongeveer 2,71828. Dat is hetzelfde getal dat je bij groei- en vervalprocessen tegenkomt, en dat is geen toeval. Je kunt een uur namelijk opdelen in heel veel piepkleine momentjes waarin er telkens hooguit één klant binnen kan komen. Reken je die kansen door en maak je de momentjes steeds korter, dan komt er vanzelf e−λ uit. De Poisson-verdeling is in die zin de binomiale verdeling die tot het uiterste is doorgedacht: oneindig veel pogingen met elk een oneindig kleine kans.
Handig om te onthouden: e−λ is precies de kans dat er in de hele periode niets gebeurt, dus P(X = 0). Bij λ = 4 is dat e−4 ≈ 0,0183, oftewel ruim 1,8%.
Een bakker verkoopt gemiddeld 4 taarten per uur. Wat is de kans dat hij er in het komende uur precies 6 verkoopt? Dan is λ = 4 en k = 6:
De kans is dus ongeveer 10,42%, oftewel iets meer dan 1 op de 10 uur. Vul λ = 4 en k = 6 in de rekenmachine hierboven in, dan zie je precies dat getal terug, samen met het staafdiagram van de hele verdeling.
Wil je weten hoe waarschijnlijk het is dat hij er hóógstens 6 verkoopt, dan tel je de kansen op 0 tot en met 6 bij elkaar op. Dat komt uit op ongeveer 88,93%. En de kans op minstens 6 taarten is dan 1 min de kans op hoogstens 5, wat neerkomt op ongeveer 21,49%. De tool rekent die varianten allemaal voor je uit.
De formule klopt alleen als je situatie aan een paar voorwaarden voldoet. Loop ze even langs voordat je gaat rekenen:
Er is nog een handige controle achteraf. Bij een Poisson-verdeling zijn het gemiddelde en de variantie gelijk aan elkaar. Heb je echte tellingen en is de variantie daarvan veel groter dan het gemiddelde, dan klopt de aanname waarschijnlijk niet. Dat heet overdispersie en gebeurt bijvoorbeeld als gebeurtenissen in groepjes komen.
In opgaven zit het venijn vaak in één woord. "Minstens 6" is iets anders dan "meer dan 6", en dat scheelt een heel stuk kans. Deze tool heeft voor elke variant een aparte optie, zodat je nooit hoeft te gokken. In dit overzicht zie je welke aantallen er meetellen:
| Wat er staat | Notatie | Welke aantallen tellen mee |
|---|---|---|
| Precies k | P(X = k) | alleen k |
| Hoogstens k, ten hoogste k, niet meer dan k | P(X ≤ k) | 0 tot en met k |
| Minder dan k | P(X < k) | 0 tot en met k − 1 |
| Minstens k, ten minste k, k of meer | P(X ≥ k) | k en alles daarboven |
| Meer dan k | P(X > k) | k + 1 en alles daarboven |
| Tussen k en m in | P(k ≤ X ≤ m) | k tot en met m |
Rekenmachines geven meestal alleen de kans op precies k en de kans op hoogstens k. De rest leid je daaruit af met de tegenkans, want alle kansen samen zijn altijd 100%:
Let bij die eerste twee goed op dat ene getal verschil in de aftrekking. Wil je de kans op minstens 6 gebeurtenissen, dan trek je de kans op hoogstens 5 van 1 af, niet die op hoogstens 6. Deze tool laat onder de uitkomst zien welke omweg er is genomen, zodat je het in je uitwerking kunt overnemen.
De Poisson-verdeling heeft een eigenschap die je nergens anders zo simpel tegenkomt: het gemiddelde en de variantie zijn allebei gelijk aan λ. De standaarddeviatie is dus gewoon de wortel daaruit:
Voorbeeld: bij gemiddeld 4 taarten per uur is de standaarddeviatie √4 = 2. Je zit dus meestal ergens tussen de 2 en 6 taarten per uur.
Daar zit meteen een nuttig inzicht in. Omdat de standaarddeviatie met de wórtel van λ meegroeit en het gemiddelde met λ zelf, wordt het aantal relatief gezien steeds stabieler naarmate je naar een langere periode kijkt. Bij gemiddeld 4 per uur is de spreiding de helft van het gemiddelde; bij gemiddeld 400 per week is dat nog maar een twintigste. Precies dat vergelijk je met de variatiecoëfficiënt.
Een klassieke valkuil: je weet het gemiddelde per uur, maar de vraag gaat over twee uur. Dan mag je λ gewoon meeschalen. Bij gemiddeld 3 storingen per week horen er gemiddeld 12 per vier weken, dus dan reken je met λ = 12.
| Wat je weet | Waar de vraag over gaat | Waarmee je rekent |
|---|---|---|
| 3 per uur | 1 uur | λ = 3 |
| 3 per uur | 2 uur | λ = 6 |
| 3 per uur | een half uur | λ = 1,5 |
| 3 per uur | 20 minuten | λ = 1 |
Wat je nooit mag doen, is de uitkomst zelf schalen. De kans op 2 gebeurtenissen in twee uur is niet twee keer de kans op 2 gebeurtenissen in één uur. Je moet altijd eerst λ aanpassen en daarna pas de kans uitrekenen. In deze tool kies je daarvoor bovenaan de optie met een aantal eenheden; dan doet de rekenmachine die vermenigvuldiging voor je.
Beide verdelingen tellen hoe vaak iets gebeurt, maar ze horen bij een ander soort vraag:
| Binomiaal | Poisson | |
|---|---|---|
| Wat je weet | aantal pogingen en de kans per poging | alleen het gemiddelde per periode |
| Bovengrens | ja, het aantal pogingen | nee, elk aantal blijft mogelijk |
| Gemiddelde | n × p | λ |
| Variantie | n × p × (1 − p) | λ, dus gelijk aan het gemiddelde |
| Typisch voorbeeld | 20 meerkeuzevragen gokken | klanten per uur in een winkel |
De vuistregel om te kiezen is simpel: kun je het aantal pogingen benoemen, dan is het binomiaal. Kun je alleen zeggen hoe vaak iets gemiddeld gebeurt, dan is het Poisson. Bij een winkel weet je immers niet hoeveel mensen er langs de deur zijn gelopen en de kans niet zijn binnengegaan.
De twee liggen ook dicht bij elkaar. Bij veel pogingen met een kleine kans per poging mag je een binomiale verdeling benaderen met een Poisson-verdeling, met λ = n × p. Als vuistregel geldt dat vanaf ongeveer n ≥ 20 met p ≤ 0,05, en de benadering wordt beter naarmate n groter en p kleiner wordt. Bij 1000 pogingen met een kans van 0,3% per poging (λ = 3) schelen de twee uitkomsten nog maar iets in de vijfde decimaal.
Wil je je uitkomst met een ander hulpmiddel controleren, dan kan dat zo:
Deze tool doet hetzelfde, maar dan met alle varianten in één keer en met een tekening erbij, zodat je ook ziet waar je antwoord in de verdeling zit.
Vul eerst het gemiddelde aantal per periode in (λ). Dat hoeft geen heel getal te zijn: 3,5 storingen per maand mag gewoon. Gaat je vraag over een andere periode dan waarvoor je het gemiddelde kent, kies dan bovenaan de tweede optie en vul het aantal eenheden in; bij gemiddeld 3 per uur en 2 uur rekent de tool dan met λ = 6.
Kies vervolgens welke kans je wilt: precies, hoogstens, minder dan, minstens, meer dan of tussen twee aantallen in. Vul tot slot het aantal gebeurtenissen in (k); bij de laatste optie vul je twee aantallen in. Decimalen mag je met een komma of een punt schrijven. Je ziet meteen de kans in procenten, hoe die is opgebouwd, de kans op precies, hoogstens en minstens dat aantal, het gemiddelde, de standaarddeviatie, het meest waarschijnlijke aantal, een staafdiagram van de hele verdeling en een tabel met de kans op elk aantal apart. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.
Met de formule P(X = k) = λ tot de macht k, maal e tot de macht min λ, gedeeld door k faculteit. Daarin is λ het gemiddelde aantal per periode en k het aantal waar je naar vraagt. Bij gemiddeld 4 taarten per uur en precies 6 taarten wordt dat 4⁶ × e⁻⁴ ÷ 720, oftewel 4096 × 0,018316 ÷ 720 ≈ 0,1042, dus ongeveer 10,42%.
λ is het gemiddelde aantal gebeurtenissen in de periode waar je naar kijkt. Het is het enige getal dat je nodig hebt: met alleen λ ligt de hele kansverdeling vast. λ hoeft geen heel getal te zijn, want een gemiddelde van 3,5 storingen per maand kan prima. Bij de Poisson-verdeling is λ bovendien ook meteen de variantie.
Als je losse gebeurtenissen telt in een vaste periode of ruimte en alleen het gemiddelde kent: klanten per uur, storingen per maand, auto's per minuut. Voorwaarden zijn dat het gemiddelde constant blijft, dat de gebeurtenissen elkaar niet beïnvloeden en dat er niet twee tegelijk gebeuren. Ken je wel een vast aantal pogingen met een kans per poging, gebruik dan de binomiale verdeling.
Bij de binomiale verdeling weet je het aantal pogingen en de kans per poging, en is er een bovengrens. Bij de Poisson-verdeling weet je alleen het gemiddelde en is er geen bovengrens: elk aantal blijft mogelijk. Bij veel pogingen met een kleine kans lijken ze sterk op elkaar; je mag dan binomiaal benaderen met Poisson door λ = n × p te nemen.
e is het getal van Euler, ongeveer 2,71828. Het duikt op omdat je de periode kunt opdelen in oneindig veel piepkleine momentjes met elk een oneindig kleine kans; de binomiale formule gaat dan vanzelf over in de Poisson-formule met e erin. Handig om te weten: e tot de macht min λ is precies de kans dat er helemaal niets gebeurt, dus P(X = 0).
De wortel uit λ. Omdat het gemiddelde en de variantie bij een Poisson-verdeling allebei gelijk zijn aan λ, is de standaarddeviatie de wortel daaruit. Bij λ = 4 is dat de wortel uit 4, dus precies 2. Bij λ = 100 is het 10, dus relatief gezien wordt de spreiding kleiner naarmate het gemiddelde groter is.
Door λ mee te schalen. Weet je dat er gemiddeld 3 per uur gebeuren en gaat de vraag over twee uur, dan reken je met λ = 6; bij 20 minuten met λ = 1. Wat je nooit mag doen, is de uitkomst zelf verdubbelen: de kans op 2 gebeurtenissen in twee uur is niet twee keer de kans op 2 in één uur. Pas eerst λ aan, reken daarna pas de kans uit.
In theorie wel: er is geen bovengrens, dus elk aantal heeft een kans groter dan 0. In de praktijk wordt die kans razendsnel kleiner. Bij λ = 4 is de kans op 12 of meer gebeurtenissen nog ongeveer 1 op de 1093, maar op 20 of meer al ongeveer 1 op de 98 miljoen. Dat is precies het verschil met de binomiale verdeling, waar het aantal pogingen een harde grens vormt.
poissonpdf(λ, k) geeft de kans op precies k gebeurtenissen en poissoncdf(λ, k) de kans op hoogstens k, dus alle kansen van 0 tot en met k bij elkaar opgeteld. Je vindt ze op een TI onder 2nd en DISTR. Op een Casio heten ze Ppd en Pcd, in het menu STAT bij DIST en POISN.
Dat is λ naar beneden afgerond. Bij λ = 4,7 is 4 het meest waarschijnlijke aantal. Is λ zelf een heel getal, dan zijn er twee toppen die precies even waarschijnlijk zijn: λ en λ min 1. Bij λ = 4 zijn 3 en 4 dus allebei het meest waarschijnlijk, elk met een kans van ongeveer 19,54%.
Ja. De berekening draait volledig in je eigen browser; de getallen die je invoert verlaten je apparaat niet en worden nergens opgeslagen.
JaHandig