Bereken gratis en direct het harmonisch gemiddelde van een reeks getallen. Je ziet meteen de omgekeerden, de som ervan en het verschil met het gewone gemiddelde.
Enter opent een volgend vakje. Sleep een vakje aan de puntjes om het te verplaatsen. Alle getallen moeten groter dan 0 zijn; de volgorde maakt voor de uitkomst niets uit.
Het harmonisch gemiddelde vat een reeks getallen samen in één getal, net als het gewone gemiddelde. Het verschil zit in de rekenstap: je telt niet de getallen zelf op, maar hun omgekeerden. De omgekeerde van een getal (ook wel het reciproke genoemd) krijg je door 1 door dat getal te delen. De omgekeerde van 4 is dus 1 ÷ 4 = 0,25. Daarna deel je het aantal getallen door de som van al die omgekeerden. In een formule ziet dat er zo uit:
Voorbeeld: neem de getallen 2, 3 en 6. De omgekeerden zijn: 1 ÷ 2 = 0,5, 1 ÷ 3 = 0,3333 en 1 ÷ 6 = 0,1667. Samen is dat precies 1. Er zijn 3 getallen, dus het harmonisch gemiddelde is 3 ÷ 1 = 3. Het gewone gemiddelde van dezelfde getallen is (2 + 3 + 6) ÷ 3 = 3,67 en ligt dus hoger.
Dat is meteen het belangrijkste kenmerk: het harmonisch gemiddelde ligt altijd dichter bij de kleine getallen uit je reeks. Eén laag getal trekt de uitkomst flink omlaag, terwijl één heel hoog getal er weinig aan verandert. De reden is dat een klein getal een grote omgekeerde heeft: 1 ÷ 0,1 is 10, terwijl 1 ÷ 100 maar 0,01 is. In wiskundeboeken zie je voor het harmonisch gemiddelde vaak het symbool H, met de formule H = n ÷ Σ(1 ÷ x). Daarin staat n voor het aantal getallen, x voor een getal uit de reeks en Σ voor "de som van". Dat is dus precies dezelfde formule, alleen korter opgeschreven.
Heb je maar twee getallen, dan bestaat er een kortere formule die op hetzelfde neerkomt: (2 × a × b) ÷ (a + b). Voor 60 en 40 is dat (2 × 60 × 40) ÷ 100 = 4800 ÷ 100 = 48. Werk je in een spreadsheet, dan doet de functie HARM.GEM het in één keer voor je; in het Engelstalige Excel en in Google Spreadsheets heet diezelfde functie HARMEAN.
Je gebruikt het harmonisch gemiddelde als je getallen verhoudingen zijn en het bovenste deel van die verhouding steeds hetzelfde blijft. Denk aan kilometers per uur bij een vaste afstand, of euro's per liter bij een vast bedrag. Het gewone gemiddelde geeft in die gevallen een te hoge uitkomst.
Het bekendste voorbeeld is de gemiddelde snelheid. Stel: je fietst 12 kilometer heen met 20 km/u en dezelfde 12 kilometer terug met 30 km/u. Wat is je gemiddelde snelheid over de hele rit?
Het gewone gemiddelde van 20 en 30 is 25 km/u en klopt dus niet. Het harmonisch gemiddelde geeft wel het goede antwoord: 1 ÷ 20 + 1 ÷ 30 is samen precies een twaalfde, en 2 gedeeld door een twaalfde is 2 × 12 = 24 km/u. De verklaring is eenvoudig: je bent langer onderweg met de lage snelheid dan met de hoge, dus die lage snelheid moet zwaarder meetellen. Let op dat dit alleen opgaat omdat je heen en terug dezelfde afstand aflegt. Fiets je juist even lang (bijvoorbeeld allebei een uur), dan is het gewone gemiddelde wel het goede antwoord.
Je komt het harmonisch gemiddelde ook op deze plekken tegen:
Er zijn drie klassieke gemiddelden en voor getallen groter dan 0 staan die altijd in dezelfde volgorde: het harmonisch gemiddelde is het kleinst, het rekenkundig gemiddelde het grootst en het meetkundig gemiddelde zit daartussenin.
Alleen wanneer alle getallen precies gelijk zijn, vallen de drie samen. Hoe verder de getallen uit elkaar liggen, hoe groter het verschil wordt. Bij 2, 3 en 6 is het harmonisch gemiddelde 3, het meetkundig gemiddelde 3,30 en het rekenkundig gemiddelde 3,67. De rekenmachine hierboven berekent alle drie, zodat je ze in één oogopslag naast elkaar ziet.
Typ in elk vakje één getal; decimalen mag je met een komma of een punt schrijven (8,5 of 8.5). Met de knop "Getal toevoegen" of de entertoets open je een volgend vakje, met het kruisje haal je een vakje weg en door een vakje aan de puntjes te verslepen verander je de volgorde. Lege vakjes tellen niet mee en de volgorde maakt voor de uitkomst niets uit. Handig om te weten: plak je een hele reeks getallen (bijvoorbeeld uit Excel) in een vakje, dan worden ze automatisch over losse vakjes verdeeld.
Alle getallen moeten groter dan 0 zijn. Van 0 bestaat namelijk geen omgekeerde, want delen door 0 kan niet, en bij negatieve getallen kunnen de omgekeerden elkaar opheffen waardoor er geen zinnige uitkomst overblijft. Vul je toch een 0 of een negatief getal in, dan kleurt dat vakje rood en verschijnt er een uitleg.
De uitkomst verschijnt direct in beeld, samen met een vergelijking met het meetkundig en het rekenkundig gemiddelde, het aantal getallen, de som van de omgekeerden, de gemiddelde omgekeerde, het verschil met het rekenkundig gemiddelde en het laagste en hoogste getal. De tabel eronder laat per getal zien hoe de som van de omgekeerden is opgebouwd, zodat je de berekening stap voor stap kunt naschrijven. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.
Deel 1 door elk getal, tel die omgekeerden bij elkaar op en deel het aantal getallen door die som. Bij de getallen 2, 3 en 6 zijn de omgekeerden 0,5, 0,3333 en 0,1667. Samen is dat 1 en er zijn 3 getallen, dus het harmonisch gemiddelde is 3 ÷ 1 = 3.
Bij het gewone gemiddelde (het rekenkundig gemiddelde) tel je de getallen zelf op en deel je door het aantal. Bij het harmonisch gemiddelde reken je met de omgekeerden (1 ÷ getal). Daardoor wegen lage getallen zwaarder mee en is het harmonisch gemiddelde nooit hoger dan het gewone gemiddelde. Bij 2, 3 en 6 is het gewone gemiddelde 3,67 en het harmonisch gemiddelde 3.
Als je getallen verhoudingen zijn waarbij het bovenste deel van de verhouding steeds gelijk blijft. Het klassieke voorbeeld is de gemiddelde snelheid over twee gelijke afstanden. Fiets je 12 km met 20 km/u en 12 km met 30 km/u, dan is je gemiddelde snelheid 24 km/u (het harmonisch gemiddelde) en niet 25 km/u (het gewone gemiddelde). Ook bij prijzen per eenheid en bij de F1-score in machine learning wordt het harmonisch gemiddelde gebruikt.
Van 0 bestaat geen omgekeerde, want delen door 0 kan niet. Bij negatieve getallen loopt het op een andere manier mis: de omgekeerden kunnen elkaar dan opheffen, waardoor je door bijna nul deelt en er een uitkomst uitrolt die helemaal buiten je reeks ligt. Bij de getallen −1 en 2 zou de formule bijvoorbeeld −4 opleveren. Daarom rekenen deze tool en programma's als Excel alleen met getallen groter dan 0.
Dat is 48. De omgekeerden zijn 1 ÷ 60 = 0,0167 en 1 ÷ 40 = 0,025, samen afgerond 0,0417. Opgeteld is dat precies een vierentwintigste, en 2 gedeeld door een vierentwintigste is 2 × 24 = 48. Voor precies twee getallen kun je ook de kortere formule (2 × a × b) ÷ (a + b) gebruiken: (2 × 60 × 40) ÷ 100 = 48.
Ja. Dan krijgt elk getal een weging en deel je de som van de wegingen door de som van (weging ÷ getal). Krijgen alle getallen dezelfde weging, dan komt daar precies het gewone harmonisch gemiddelde uit. Deze rekenmachine berekent de ongewogen versie, waarbij elk getal even zwaar telt. Wil je met wegingen rekenen bij een gewoon gemiddelde, gebruik dan onze gewogen gemiddelde berekenen tool.
Ja. Decimale getallen typ je met een komma of een punt (0,25 of 0.25). Omdat elk vakje precies één getal bevat, kan een komma nooit verward worden met een scheidingsteken. Getallen kleiner dan 1 mogen ook, zolang ze maar groter zijn dan 0. Let op: hoe dichter een getal bij 0 ligt, hoe sterker het de uitkomst omlaag trekt.
Ja. De berekening draait volledig in je eigen browser. De getallen die je invult verlaten je apparaat niet en worden nergens opgeslagen.
JaHandig