Los gratis en direct een kwadratische vergelijking op met de abc-formule. Vul a, b en c in en zie meteen de discriminant, de oplossingen, de top en de grafiek.
ax2 + bx + c = 0
Een kwadratische vergelijking is een vergelijking waarin x in het kwadraat voorkomt, dus x². De standaardvorm is ax² + bx + c = 0. De letters a, b en c zijn gewone getallen die je uit de vergelijking afleest; alleen x is onbekend. Een paar voorbeelden:
Zo'n vergelijking "oplossen" betekent: uitzoeken welke getallen je voor x kunt invullen zodat er inderdaad 0 uitkomt. Teken je y = ax² + bx + c in een assenstelsel, dan krijg je een parabool: een symmetrische boog. Is a positief, dan is het een dalparabool (de boog opent naar boven); is a negatief, dan is het een bergparabool. De oplossingen van de vergelijking zijn precies de punten waar de parabool de x-as snijdt. Die punten heten ook wel de nulpunten.
Met de kwadratische formule (ook wel de abc-formule of wortelformule genoemd) kun je elke kwadratische vergelijking oplossen. Je hoeft alleen a, b en c in te vullen:
Het teken ± betekent "plus of min": je rekent de formule één keer uit met een plus en één keer met een min. Zo vind je (meestal) twee oplossingen.
We lossen de vergelijking x² − 3x − 4 = 0 op.
De oplossingen zijn dus x = 4 en x = −1. Je kunt dit controleren door 4 in te vullen: 4² − 3 · 4 − 4 = 16 − 12 − 4 = 0. Dat klopt!
Het stuk onder het wortelteken heeft een eigen naam: de discriminant, afgekort D = b² − 4ac. Handig, want aan D zie je al hoeveel oplossingen er zijn nog vóórdat je verder rekent:
Zet je vergelijking eerst in de vorm ax² + bx + c = 0. Staat er nog iets rechts van het =-teken? Breng dat dan eerst naar de linkerkant. Zo wordt x² = 3x + 4 eerst x² − 3x − 4 = 0. Vul daarna de getallen a, b en c in en druk op "Bereken". Je ziet meteen de discriminant, de oplossingen, de top van de parabool en de grafiek. Ontbreekt in jouw vergelijking de losse x of het losse getal? Vul dan gewoon 0 in. Alles wordt lokaal in je browser uitgerekend.
De abc-formule is een vaste formule waarmee je elke kwadratische vergelijking ax² + bx + c = 0 kunt oplossen: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Je leest a, b en c uit je vergelijking af, vult ze in en rekent uit. Het maakt niet uit hoe lastig de vergelijking eruitziet: de formule werkt altijd.
De discriminant is het stuk onder het wortelteken in de abc-formule: D = b² − 4ac. Dit getal vertelt je hoeveel oplossingen de vergelijking heeft: is D positief, dan zijn er twee oplossingen; is D nul, dan is er precies één; is D negatief, dan zijn er geen oplossingen.
Dan heeft de vergelijking geen oplossingen. In de abc-formule zou je dan de wortel uit een negatief getal moeten trekken, en dat kan niet. In de grafiek zie je het ook: de parabool komt nergens bij de x-as. (Wie later verder gaat in de wiskunde leert dat er met zogeheten complexe getallen tóch oplossingen bestaan, maar op de middelbare school is "geen oplossingen" het juiste antwoord.)
Vaak wel. Als de vergelijking mooi uit elkaar te halen is, gaat ontbinden in factoren sneller: x² − 3x − 4 = 0 kun je schrijven als (x − 4)(x + 1) = 0, en dan zie je direct dat x = 4 of x = −1. Lukt ontbinden niet, bijvoorbeeld omdat de oplossingen geen mooie ronde getallen zijn, dan biedt de abc-formule altijd uitkomst.
De top is het laagste punt van een dalparabool of het hoogste punt van een bergparabool. Je vindt de x-coördinaat van de top met x = −b / 2a. Vul je die x daarna in bij ax² + bx + c, dan krijg je de y-coördinaat. Zijn er twee oplossingen, dan ligt de top precies in het midden daartussen.
JaHandig